- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
Пусть правая часть ДУ, разрешенного относительно производной и начальное условие зависит от параметра m. Выясним условия решение задачи Коши непрерывно и диф-мо по параметру. Обозначим Qm = {(t, y, m): |t – t0| <= T, A <= y <= B, m1 <= m <= m2}. Пусть функция f(t, y, m) определена на Qm, а функция y0(m) определена на [m1, m2]. Рассмотрим задачу Коши y’(t) = f(t, y(t), m), t Є [t0 – T, t0 + T]. y(t0) = y0(m). Т пусть функция f (t, y, m) непрерывна в Qm и удовлетворяет в Qm условию Липшеца по y, а y0(m) непрерывна на [m1, m2]. Тогда, если y(t, m) – решение задачи Коши на [t0 – T, t0 + T] для всех m Є [m1, m2], то функция y(t, m) непрерывна по m при t Є [t0 – T, t0 + T], m Є [m1, m2]. Док-во: по условию решение задачи Коши y (t, m) существует для всех t Є [t0 – T, t0 + T], m Є [m1, m2] и A <= y(t, m) <= B для всех t Є [t0 – T, t0 + t], m Є [m1, m2]. Рассмотрим y(t, m0) и y(t, m0 + дm). Введем y1(t) = y(t, m0), y2(t) = y(t, m0 + дm), f1(t, y) = f(t, y, m0), f2 = (t, y) = f(t, y, m0 + дm), y01 = y0(m0), y02 = y0(m0 + дm). Для y1(t), y2(t) выполнено Б27 поэтому max<t0 Є [t0 –T, t0 + T]>|y(t, m0) – y(t, m0 + дm)| = max<t Є [t0 – T, t0 + t]> |y1(t) – y2(t)| <= (|y0(m0) – y0(m0 + дm)| + Tmax<(t, y) Є Q>|f(t, y, m0) – f(t, y, m0 + дm|)exp{LT}, где Q = {(t, y): |t – t0| <= T, A <= y <= B}. Покажем непрерывность, те для eps >0 сушествует д такое, что для [t0 – T, t0 + T]: |y(t, m0 + дm) – y(t, m0)| <= eps, |дm| <= д. Так как непрерывная на [m1, m2] функция y0(m) равномерно непрерывна на этом отрезке, то есть д1 такое, что |y0(m0 + дm) – y0(m0)| <= eps/(2exp{LT}), |дm| <= д1. Так как функция f(t, y, m) равномерно непрерывна, то существует д2 |f(t, y, m0 + дm) – f(t, y, m0)| <= eps/(2Texp{LT}). Те ЧТД. Замечание: фактически доказана равномерная непрерывность на [t0 –T, t0 + T]x[m1, m2] непрерывность решения задачи Коши по параметру m. Отсюда получается, что y(t, m) непрерывна по совокупности переменных.
Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
Т Пусть функция f(t, y, m) непрерывна в Qm и имеет в Qm непрерывные частные производные f’y(t, y, m), f’m(t, y, m), а функция y0(m) непрерывно диф-ма на [m1, m2]. Тогда, если y(t, m) - решение задачи Коши на [t0 – T, t0 + T] для всех m Є [m1, m2], то y(t, m) имеет при t Є [t0 – T, t0 + T], m Є [m1, m2] производную по m. Док-во: Пусть m, m + дm – две произвольные точки из [m1, m2]. Определим v(t, m, дm) = (y(t, m + дm) – y(t, m))/дm, t Є [t0- T, t0 + T]. В силу того, что y – решение задачи Коши, то v’(t, m, дm) = [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m), m)]/дm. Разобьем на две дроби и применим формулу конечных приращений [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m), m + дm)]/дm = $<0, 1>f’y(t, y(t,m) + O(y(t, m + дm) – y(t, m)), m + дm)dO[y(t, m + дm) – y(t, m)]/дm. Введем функию p(t, m, дm) = $<0, 1> f’y(t, y(t, m) + O(y(t, m + дm) – y(t, m)), m + дm)dO, q(t, m, дm) = [f(t, y(t, m), m + дm) – f(t, y(t, m),m)]/дm. Учитывая обозначения, получаем, что отношение [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m,m)]/дm = p(t, m, дm)v(t, m, дm) + q(t, m, дm). Подставим в v’(t, m, дm) = p(t, m, дm)v(t, m, дm) + q(t, m, дm). Из определения v получаем, что она удовлетворяет начальному условию v(t0, m, дm) = [y0(m+дm) – y0(m)]/дm. Решение задачи Коши имеет вид v(t, m, дm) = v0exp{$<t0, t>p(ξ, m, дm)dξ} + $<t0, t>q(u, m, дm)exp{$<u, t>p(ξ, m, дm)dξ}du, t Є [t0 – T, t0 + T]. Для док-ва существования производной достаточно показать, что v(t, m, дm) имеет предел при дm 0. lim<дm0>[y0(m + дm) – y0(m)]/дm = dy0/dm(m). lim<дm0>p(t, m, дm) = df/dy(t, y(t, m), m). lim<дm0>q(t, m, дm) = df/dm(t, y(t, m), m) те предел правой части существует. Мы получаем dy/dm(t, m) = dy0/dm(m)exp{$<t0, t>f’y(ξ, y(ξ, m), m)dξ} + $<t0, t>f’m(u, y(u, m),m)exp{$<u, t>f’y(ξ, y(ξ, m), m)dξ}du. ЧТД.
Билет 30. Основные понятия теории устойчивости. Теоремы об устойчивости и неустойчивости решения линейной системы. Теорема об исследовании устойчивости решения системы по первому приближению (формулировка).
Без ограничения общности полагаем t0 = 0. Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных ур-й первого порядка относительно искомой вектор-функции y-(t). dy-(t)/dt = f-(t, y-(t)), y-(t0) = y0-. Предполагается, что fi(t, y-) определены и непрерывны вместе с частными производными dfi(t, y_)/dyj на мн-ве П = [0, inf) x R^n (n – размерность системы). Тогда по теореме о существовании и единственности решения задачи Коши для любых начальных данных y0- Є R^n система имеет на некотором отрезке [0, T] единственное решение y-(t, y0-), в обозначении которого отражена зависимость от начального состояния. ||y-|| - евклидова норма вектора. Решение y-(t, y0-) задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если для любого eps > 0 существует δ(eps, y0-) такое, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~ - y0-|| < δ соответствующие решения y~(t; y0~) задачи Коши для системы существуют для всех t >= 0 и удовлетворяют неравенству ||y-(t, y0~) – y-(t, y0-)|| < eps, для любых t Є [0, inf). Решение задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует δ0 > 0 такое, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~ - y0-| < δ0, существует предел lim<tinf>||y-(t, y0~) – y-(t, y0-)|| =0. В случае, если f-(t,0,…,0) = 0, y0-= 0 задача Коши имеет нулевое решение: y-(t, 0) = 0, t >= 0. Нулевое решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любых начальных данных, удовлетворяющих условию ||y0~|| <= δ(eps), соответствующие решения y-(t, y0~) задачи Коши для системы существуют для всех t >= 0 и ||y-(t, y0~)|| < eps, для любого t Є [0, inf). В противном случае нулевое решение называется неустойчивым по Ляпунову. Нулевое решение задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое δ0 > 0, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~|| <= δ0, существует предел lim<tinf>||y-(t, y0~)|| = 0. Проблему устойчивости задачи Коши можно свести к новой системе, введя неизвестные x-(t) = y-(t) – y-(t, y0-). Так как y-(t) – решение системы, то для x-(t) имеет x-(t)/dt = y-(t)/dt – y-(t, y0-)/dt = f-(t,y-(t)) – f-(t, y-(t, y0-)) = f-(t, x-(t) + y-(t, y0-)) – f-(t, y-(t, y0-)). Те x-(t) – решение системы x-(t)/dt = f-(t, x-(t) + y-(t, y0)) – f-(t, y-(t, y0)). Решение x-(t, 0) этой системы с 0м начальным условием равно 0. Те достаточно ограничится 0м решением. Т (без док-ва) Пусть функции fj(y-) дважды непрерывно диф-мы в некоторой окрестности начала координат, j=1,..,n. Если все собственные значения матрицы A = (dfi(0,…,0)/dyi) имеют отрицательные вещественные части (Relk < 0, для любого k =1,…,n), то нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если есть хоть одно собственное значение с строго положительной вещественной частью, то нулевое решение не устойчиво по Ляпунову.