Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.

Рассмотрим краевую задачу Ly = d/dx(p(x)dy/dx) – q(x)y = -λy, 0 <= x <= l, g1y’(0) + j1y(0) = 0, g2y’(l) + j2y(l) = 0, где p(x), q(x) – известные действительные функции, g1, j1, g2, j2 – известные действительные постоянные такие, что p(x) Є C1[0, l], p(x) > 0, x Є [0, l], q(x) Є C[0, l], gi^2 + j1^2 >0, i=1, 2, λ – комплексный параметр. При любом λ есть решение y(x) = 0. Если для некоторого λ1 краевая задача имеет нетривиальное решение y1(x), то λ1 называется собственным значением, а y1(x) – собственной функцией. Задача поиска собственных значений и собственных функций – задача Штурмана-Лиувилля. Собственные функции определены с точность до константы, y(x) – собственная функция, то и cy(x) … Без краевых условий задача бессмысленна: Ly = -Ly(x) имеет решение как ЛОДУ второго порядка. Т Все собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля действительны. Док-во: Пусть λ1 – собственное значение, а y1(x) – соответствующая собственная функция. Пусть они комплексно значные, те λ1 = a + ib, y1(x) = u(x) + iv(x). Тогда Lu = -au(x) + bv(x), Lv = -bu(x) – av(x). Функции удовлетворяют краевым условиям. Умножим первое на v(x), второе на u(x). Проинтегрируем оба от 0 до l и вычтем из первого второе $<0, l>(v(x)Lu – u(x)Lv)dx = b$<0, l>(u^2(x) + v2(x))dx. Применим следствие из формулы Грина, те b$<0, l>(u^2(x) + v^2(x))dx = 0. Те b = 0. ЧТД. Т Каждому собственному значению соответствует одна собственная функция. Док-во: противное. Они являются решениями ур-я и удовлетворяют краевым условиям. Из краевых условий определитель Вронского W[y1, y2](0) = 0. Так как они решения одного и того же ЛОДУ, то y2(x) = cy(x). ЧТД. Введем скалярное произведение (v, w) = $<0, l>v(x)w(x)dx. Будем называть v(x), w(x) ортогональными, если (v, w) = 0. Т Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, являются ортогональными. Док-во: Пусть λ1 ≠ λ2 – собственные значения, y1(x), y2(x) – соответствующие им собственные значения. Так как y1(x), y2(x) удовлетворяют краевым условиям, то из следствия формулы Грина имеем (Ly1, y2) – (y1, Ly2) = $<0, l>(y2(x)Ly1 – y1(x)Ly2)dx = 0. Так как Ly1 = -λ1y1(x),Ly2=…, то (λ1 – λ2)(y1, y2) = λ1(y1, y2) – λ2(y1, y2) = -(Ly1, y2) + (y1, Ly2) = 0. Те (λ1 – λ2)(y1, y2) = 0 ==> ЧТД. Т Пусть g1 = g2 = 0. Тогда, если λ- собственное значение, то λ >= min<0<= x <= l>q(x). Док-во: Пусть λ1 – собственное значение, y1(x) – соответствующая функция и λ1 < min<0<=x<=l>q(x). Тогда q(x) – λ1 > 0 на [0, l]. Имеем d/dx(p(x)dy1/dx) = (-λ1 + q(x))y1(x). Интегрируем от 0 до x. p(x)y1’(x) = p(0)y1’(0) + $<0, x>((q(s) – λ1)y1(s)ds. Так как y1(x) удовлетворяет краевым условиям, то y1(0) = y1(l) = 0. Так как y1(x) – ненулевое решнение, то y1’(0) ≠ 0. Пусть для определенности y1’(0) > 0. Тогда y1’(x) > 0 при x Є [0, l]. Пусть это не так. Обозначим x0 – минимальное число, при котором y1’(x0) = 0. Тогда для x Є [0, x0) производная y1’(x) > 0, значит и y1(x) > 0 при x Є (0, x0). Положив в интегральном уравнении x = x0 получим, что y1’(x0) > 0. Противоречие. Но тогда y1(x) > 0 при x Є (0, l], что противоречит краевому условию. Получили противоречие. ЧТД.