Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.

Рассмотрим функционал, зависящий от функции u(x, y) и её частных производных первого порядка H[u(x, y)]$$<D>F(x, y, u(x,y), u’x(x,y), u’y(x,y))dxdy, где F(x, y, u, p, q) – заданная функция, а D – область, ограниченная контуром L. Будем предполагать, что функция F(x, y, u, p, q) имеет непрерывные вторые частные производные при (x, y) Є D- = D U L, (u, p, q) Є R^3. Пусть M – мн-во функций u(x, y), имеющий в D_ непрерывные частные производные и принимающих на L заданные значения u(x, y) = h(x, y), (x,y) Є L. Вариация функции u(x, y) не выводящая её из мн-ва M, - это функция δu(x, y), имеющая в D_ непрерывные частные производные и обращающаяся в 0 на L, те δu(x, y) = 0, (x, y) Є L. Лемма: пусть функция f(x, y) непрерывна в D_. Если $$<D>f(x, y)v(x,y)dxdy = 0 для любой функции v(x, y), имеющей непрерывные частные производные в D_ и обращающейся в ноль на контуре L, то f(x, y) = 0, (x, y) Є D. Пусть f(x, y) отлична от 0 в D_. Тогда есть точка (x0, y0) такая, что f(x0, y0) отлична от 0 (для определенности больше). Из непрерывности есть круг S = {(x, y): (x-x0)^2 + (y-y0)^2 < eps^2} такой, что f(x, y) >= f(x0,y0)/2 > 0 при (x, y) Є S Є D_. Полная аналогия с основной леммой. Т Предположим, что F(x, y, u, p, q) имеет непрерывные вторые частные производные при (x, y) Є D-, (u, p, q) Є R^3. Если экстремум функционала H достигается на функции u-(x, y) Є M, имеющей непрерывные вторые частные производные в D_, то эта функция является решением ур-я в частных производных F’u – dF’p/dx – dF’q/dy = 0, (x, y) Є D. Док-во: из необходимого условия экстремума δH[u-(x, y), δu(x, y)] = d/dt$$<D>F(x, y, w(x, y, t), w’x(x, y, t), w’y(x, y, t))dxdy|t=0 = 0, где w(x, y, t) = u-(x, y) + tδu(x, y). Дифференцируем по t и полагая t=0 получаем $$<D>F’u(x, y, u-, u’x-, u’y-)δu(x, y)dxdy + $$<D>{Fp(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’x(x, y) + F’q(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’y(x, y)}dxdy = 0. Преобразуем, используя соображение о том, что F’p(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’(x, y) = d/dx(F’pδu) – dF’p/dxδu, F’q(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’y(x, y) = d/dy(F’qδu) – dF’q/dyδu. Те Получили $$<D>(d/dx(F’pδu) + d/dy(F’qδu))dxdy - $$<D>(dF’p/dx + dF’q/dy)δudxdy. Применим формулу Грина к интегралу $$<D>(d/dx(F’pδu) + d/dy(F’qδu))dxdy и учитывая, что δu(x, y) = 0, (x, y) Є L, получим $$<D>(d/dx(F’pδu) + d/dy(F’qδu))dxdy = $<L>(F’pδudy – F’qδudx) = 0. Те получили, что $$<D>{F’p(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’x(x, y) + F’q(x, y, u-, u’x-, u’y-)(δu)’y(x, y)}dxdy = -$$<D>(dF’p/dx + dF’q/dy)δudxdy, и получаем $$<D>{F’u – d/dxF’p – d/dyF’q}δu(x, y)dxdy = 0, где F’u, F’p, F’q вычисляются в точке (x, y, u-(x, y), u’x-(x, y), u’y-(x, y)). Так как это верно для любой вариации, то применяя лемму получаем ЧТД.

Билет 47. Задача на условный экстремум.

Рассмотрим два функционала H[y(x)] = $<x0, x1>F(x, y(x), y’(x))dx, J[y(x)] = $<x0, x1>G(x, y(x), y’(x))dx, где F(x, y, p), G(x, y, p) заданные непрерывно диф-мые функции своих аргументов. Пусть требуется найти функцию y-(x), на которой достигается экстремум H на мн-ве функций Mj = {y(x) Є C1[x0, x1]: y(x0) = y0, y(x1) = y1, J[y(x)] = l}. Такие задачи – задачи на условный экстремум. Найдем вариацию J на мн-ве M = {y(x) Є C1[x0, x1]: y(x0)= y0, y(x1) = y1}. Пусть δy(x) – допустимая вариация на M, те δy(x0 Є C1[x0, x1], δy(x0) = δy(x1) = 0. Тогда δJ[y-(x), δy(x)] = d/dtJ[y-(x) + tδy(x)]|t = 0. Дифференцируя по t и полагая t=0 получаем δJ[y~(x), δy(x)] = $<x0, x1>{G’y(x, y-(x), y’-(x))δy(x) + G’p(x, y-(x), y’-(x))(δy)’(x)}dx. Т Пусть на функции y-(x) Є Mj, y-(x) Є C2[x0, x1], достигается экстремум H на мн-ве Mj/ Если существует функция δy0(x) Є C1[x0, x1], δy0(x0) = δy-(x1) = 0 такая, что вариация δJ[y-(x), δy0(x)] ≠ 0, то найдется такое число λ, что y-(x) удовлетворяет: L’y(x, y(x), y’(x)) – d/dxL’p(x, y(x), y’(x)) = 0, x0 <= x <= x1, где L(x, y, p) = F(x, y, p) + λG(x, y, p). Док-во: возьмем произвольную δy(x) такую, что δy(x) Є C1[x0, x1], δy(x0) = δy(x1) = 0. Рассмотрим h(t, q) = H[y-(x) + tδy(x) + qδy0(x)], j(t, u) = J[y-(x) + tδy(x) + qδy0(x)], t, q – произвольные действительные числа. Из определения h(0, 0) = H[y-(x)], j(0, 0) = J[y-(x)], h’t (0, 0) = δH[y-(x), δy(x)], h’q(0, 0) = δH[y-(x), δy0(x)], j’t(0, 0) = δJ[y-(x), δy(x)], j’q (0, 0) = δJ[y-(x), δy0(x)]. Покажем, что для любых δy(x) Є C01[x0, x1 якобиан D(h, j)/D(t, q)|t=q=0 = det(δH[y-(x), δy(x)], δH[y-(x), δy0(x)]/δJ[y-(x), δy(x)], δJ[y-(x), δy0(x)]) = 0. Предположим противное, те что существет δy~(x), что якобиан отличен от 0. Тогда из т о неявных функциях следует, что при δy(x) = δy~(x) система h(t, q) = u, j(t, q) = v однозначно разрешима для (u, v), находящихся в достаточно малой окрестности (u0, v0), где u0 = h(0, 0), v0 = j(0,0). Пусть, для определенности, y-(x) – функция, на которой достигается локальный минимум. Рассмотрим систему h(t, q) = h(0, 0) – eps = H[y-(x)] – eps, j(t, q) = j(0, 0) = J[y-(x)] = l, где eps – достаточно маленькое положительное число. Так как (h(0, 0) – eps, j(0, 0)) – в достаточно малой окрестности, то по т о неявной функции система имеет единственное решение teps, qeps, те h(teps, qeps) = H[y-(x) + tepsδy-(x) + qepsδy0(x)] = H[y-(x)] – eps, j(teps, qeps) = J[y~(x) + tepsδy~(x) + qepsy0(x)] = l. Те на функции y-(x) + tepsδy-(x) + qepsδy0(x), принадлежащей Mj, функционал H принимает значение меньшее, чем на y-(x). Это противоречит тому, что функция достигает локальный минимум. Те якобиан равен 0. Раскрываем определитель: δH[y-(x), δy(x)]δJ[y-(x), δy0(x)] – δH[y-(x), δy0(x)]δJ[y-(x), δy(x)] = 0 для всех δy(x) Є C01[x0, x1]. По условию т δJ[y-(x), δy0(x)] ≠ 0. Поделив на δJ[y-(x), δy0(x)] и обозначив λ = -δH[y-(x), δy0(x)]/δJ[y-(x), δy0(x)], получим δJ[y-(x), δy(x)] + λδJ[y-(x), δy(x)] = 0. Превращается в $<x0, x1>{F”y(x, y-(x), y’-(x)) + λG’y(x, y-(x), y’-(x))}δy(x)dx + $<x0, x1>{F'p(x, y-(x), y'-(x)) + λG’p(x, y-(x), y’-(x))}δy’(x)dx = 0. Интегрируя по частям второй интеграл и учитывая определение L(x, y, p) получаем $<x0, x1>{L’y(x, y-(x), y-‘(x)) – d/dxL’p(x, y-(x), y’-(x))]}δy(x)dx = 0, для любых δy(x) Є C01[x0, x1]. Применив основную лемму, получим ЧТД.