Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

Рассмотрим в случае n= 2 квазилинейно ур-е в частных производных a1(x, y, u)du/dx + a2(x, y, u)du/dy = b(x, y, u), где b(x, y, u), aj(x, y, u) Є C1(D), D – область из R^3, a1(x, y, u)^2 + a2(x, y, u)^2 ≠ 0, для любых (x, y, u) Є D. Задача Коши для этого ур-я состоит нахождении поверхности u = f(x, y), задаваемой решением квазилинейного уравнения в частных производных и проходящей через заданную линию l = {(x, y, u) = (h1(s), h2(s), h3(s)), s Є [s0, s1]} Є D, те h3(s) = f(h1(s), h2(s)), для любого s Є [s0, s1]. Т Пусть выполнено условие det (a1(s) h1’(s) / a2(s), h2’(s)) ≠ 0, s Є [s0, s1], aj (s) = aj (h1(s), h2(s), h3(s)), j= 1, 2. Тогда в окрестности каждой точки лини l существует единственное решение задачи Коши. Док-во: рассмотрим систему характеристик для квазилинейного ур-я в частных производных {dx/dt = a1(x, y, u); dy/dt = a2(x, y, u); du/dt = b(x, y, u)}. Задача Коши с начальными при t = 0 данными на кривой l x|t=0 = h1(s), y|t=0 = h2(s), u|t=0 = h3(x) имеет единственное решение x = j1(t, s), y = j2(t, s), u = j3(t, s). Имеем j1(0, s) = h1(s),…, s Є [s0, s1]. Формула x=j1… задает параметрическое представление некоторой поверхности P. Линия l лежит на этой поверхности по построению. Покажем, что в окрестности каждой точки эта поверхность, состоящая из характеристик, может быть записана в виде u = f(x, y)

Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.

Рассмотрим мн-во M, являющееся некоторым подмножеством мн-ва функций C[x0, x1]. Функционалом называется отображение M в мн-во действительных чисел. Допустимой вариацие функции y0(x) Є M называется любая функция δy(x) такая, что y0(x) + δy(x) Є M. Будем считать, что если δy(x) – допустимая вариация функции y0(x), то tδy(x) также является допустимой вариацией функции y0(x) для любого t Є R. Вариацией δH[y0(x), δy(x)] функционала H[y(x)] на функции y0(x) Є M называется d/dtH[y0(x) + tδy(x)]|t = 0. Функционал H[y(x)] достигает на функции y0(x) Є M глобального максимума (минимума) на мн-ве M, если для любой y(x) Є M выполнено неравенство H[y0(x)] >= H[y(x)] (<=). Пусть есть некоторая норма, например ||y(x)|| = max<x0 <= x <= x1>. Функционал H[y(x)] достигает на функции y0(x) Є M локального минимума (максимума) на мн-ве M, если существует такое eps > 0 такое, что для любой y(x) Є M и удовлетворяющей условию ||y(x) – y0(x)|| < eps, справедливо H[y0(x)] <= H[y(x)] ( >=). Максимумы и минимумы называются экстремумами. Задачи отыскания экстремумов функционалов и функций на которых они достигаются, называются задачами вариационного исчисления. Т Если функционал H[y(x)] достигает на функции y0(x) Є M локального максимума или минимума на мн-ве M и вариация функционала на y0(x) существует, то вариация функционала δH[y0(x) + tδy(x)] = 0 для любой допустимой вариации δy(x). Док-во: Пусть функционал достигает на y0(x) локального экстремума. Рассмотрим H[y0(x) + tδy(x)], δy(x) – произвольная варицая. При фиксированных H[y0(x) + tδy(x)] является функцией перенной t: h(t) = H[y0(x) + tδy(x)]. Так как функционал H[y(x)] достигает локального экстремума, то у функции h(t) точка t = 0 тоже экстремум. Те если h’(0) существует, то она равна 0. Существование производной h’(0) следует из существования вариации функционала H[y(x)] на y0(x) d/dth(t)|t=0 = d/dtH[y0(x) + tδy(x)]|t=0. Те получаем δH[y0(x), δy(x)] = d/dtH[y0(x) + tδy(x)]|t=0 = 0. Для любой δy(x). ЧТД.