§ 2.11. Квантование сигналов при наличии помех

В реальных условиях на квантуемый сигнал всегда воздействует помеха. Поэтому целесообразно минимальный шаг квантования выбирать с учетом вероятностных характеристик этой помехи.

Предположим, что помеха аддитивна. Тогда мгновенное значение сигнала и, попадавшее ранее в i-й шаг квантования и сопоставлявшееся с уровнем квантования u'_i, в результате действия помехи примет значение u + ξ и может быть поставлено в соответствии другому уровню квантования u'_k. Такой исход приведет к искажению информации и вероятность его не должна превышать допустимого значения [24].

Обозначим через р_i(k) условную вероятность сопоставления значения сигнала и уровню квантования и'_k, вместо уровня u'_i при условии, что u принадлежит i-му шагу квантования. При наличии помехи р_i(k)>0, а р_i(i)<1.

Полная вероятность того, что величина u +  останется в пределах i-го шага квантования,

Вероятность p_i можно найти также, используя плотность вероятности f(u, ξ) системы двух случайных величин u и ξ:

где S — область интегрирования.

Поскольку нами учитываются мгновенные значения сигнала, принадлежащие i-му шагу квантования, границами интегрирования по u являются значения u_i и u_i-1. Верхняя _max и нижняя _min границы интегрирования по ξ определяются из условия, что алгебраическая сумма сигнала и помехи не должны выйти за пределы i-го шага квантования:

откуда

Таким образом, область интегрирования представляет собой параллелограмм ABCD (рис. 2.15).

Считая помеху некоррелированной с сигналом, запишем

где р() — плотность распределения помехи.

Ограничимся далее случаем равномерного квантования сигнала, мгновенные значения которого в диапазоне от u_min до u_max распределены равномерно, т. е.

Методику определения p_i(i) рассмотрим в предположении воздействия помехи, распределенной по закону равномерной плотности, а затем перейдем к практически более важному случаю воздействия помехи с нормальным законом распределения.

Итак,

где а/2 — амплитуда помехи, симметричной относительно мгновенного значения сигнала.

При указанных условиях результаты расчета инвариантны относительно шага квантования и зависят от соотношения а и Δ = Δ_i.

Определим p_i(i) при α<Δ. Область интегрирования (рис. 2.16) разбиваем на отдельные участки и проставляем пределы интегрирования с учетом того, что знаменатель выражения (2.51) равен /(u_max - u_min). Тогда

Построив области интегрирования, тем же путем можно найти ρ_i(i) при Δ<a<2Δ и a>2Δ:

На рис. 2.17 представлен график ρ_i(i) = f(a/Δ), из которого, в частности, следует, что Δ нецелесообразно выбирать меньше а, поскольку при a/Δ>1 резко возрастает вероятность неправильного квантования сигнала.

Аналогично рассчитывают зависимость ρ_i(ί) = f(σ_п/Δ) (рис. 2.18) для случая воздействия на сигнал помехи, распределенной по нормальному закону:

где σ_п — среднеквадратическое отклонение помехи ξ.

Сравнение графиков на рис. 2.17 и 2.18 показывает, что по вероятности правильного квантования ρ_i(i) воздействие помехи с нормальным законом распределения эквивалентно воздействию равномерно распределенной помехи при соотношении a = 3σ_п.