§ 2.3. Способы восстановления непрерывного сигнала

Воспроизведение сигнала по выборкам можно производить как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций, которые определяют тип аппроксимирующего полинома и принцип приближения: интерполяционный, экстраполяционный, комбинированный.

При неортогональных представлениях сигнала наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы вида

или

где α_j — действительные коэффициенты.

Если координаты сигнала представлены в виде разности выборок, то при его восстановлении, как правило, сначала проводят вычисление последовательности выборок и уже по ним строят аппроксимирующий полином u^*(t).

Выбор системы базисных функций в составе аппроксимирующего полинома u*(t) во многом определяется требованием обеспечения простоты технической реализации аппаратных (программных) средств дискретизации и восстановления сигнала.

Если базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим.

С точки зрения сокращения числа отсчетов интерполяционные методы восстановления сигнала предпочтительнее, однако, для их реализации необходима задержка сигнала на интервал интерполяции, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому в системах управления, работающих в реальном времени, используются экстра-поляционные методы, не требующие задержки сигнала при проведении операций определения значений выборок и восстановления сигнала.

При замене функции u(t) совокупностью отсчетов основная задача заключается в том, чтобы на интервале преобразования взять их не более чем требуется для восстановления исходного сигнала с заданной точностью в соответствии с выбранным критерием качества приближения.

Ограничение на число членов аппроксимирующего полинома (2.4) обычно не позволяет обеспечить заданную точность воспроизведения на всем интервале преобразования Т. Поэтому его разбивают на отрезки τ_j, называемые участками аппроксимации, и на каждом из них воспроизведение осуществляют аппроксимирующим полиномом (2.4), причем длительность участков аппроксимации может быть различной. В случае использования интерполяционного метода восстановления многочленом ненулевой степени на участке аппроксимации может размещаться несколько отсчетов.

§ 2.4. Критерии качества восстановления

При известной конечной совокупности координат сигнала и выбранном способе воспроизведения должна обеспечиваться заданная точность восстановления сигнала. Требования к точности восстановления диктуются потребителем информации. В зависимости от целевого назначения получаемой информации используются различные критерии точности приближения u*(t) к u(t).

В соответствии с критерием равномерного воспроизведения, называемым также критерием наибольшего отклонения, устанавливается абсолютное значение допустимой погрешности:

где _m — максимальная погрешность приближения; Δ_i — участок аппроксимации; _u(t) = u(t) — u*(t) — текущая погрешность приближения.

Если сигнал задан множеством возможных реализаций, то наибольшая допустимая погрешность устанавливается для всей совокупности реализацийu(t) и

u*(t):

Такой критерий применяется, например, в случаях, когда необходимо обеспечить возможность фиксации любых изменений исходного сигнала, включая кратковременные выбросы, в особенности, если они соответствуют аварийному режиму объекта.

Широко используется также критерий среднеквадратического приближения:

где _Д — допустимая среднеквадратическая погрешность приближения; σ— среднеквадратическая погрешность приближения.

При множестве возможных реализаций сигнала величина σ усредняется в соответствии с их вероятностями.

В технической реализации неравномерная дискретизация на основе критерия среднеквадратического приближения сложнее, чем на базе критерия равномерного приближения.

Интегральный критерий приближения определяется соотношением

где _Д - допустимая средняя погрешность приближения; ε — средняя погрешность приближения.

Применяется также вероятностный критерий, в соответствии с которым задается допустимый уровень р_Д величины ρ — вероятности того, что текущая погрешность приближения (t) не превысит некоторого определенного значения ₀: