- •В. И. Дмитриев
- •Глава 1 Математические модели сигналов…………………………………………...19
- •Глава 1 математические модели сигналов
- •§ 1.1. Понятия сигнала и его модели
- •§ 1.2. Формы представления детерминированных сигналов
- •§ 1.3. Временная форма представления сигнала
- •§ 1.4. Частотная форма представления сигнала
- •§ 1.5. Соотношения между длительностью импульсов и шириной их спектров
- •§ 1.6. Спектральная плотность мощности детерминированного сигнала
- •§ 1.7. Функция автокорреляции детерминированного сигнала
- •§ 1.8. Случайный процесс как модель сигнала
- •§ 1.9. Стационарные и эргодические случайные процессы
- •§ 1.10. Спектральное представление случайных сигналов
- •§ 1.11. Частотное представление стационарных
- •Глава 2. Преобразование непрерывных сигналов в дискретные
- •§ 2.1. Преимущества цифровой формы представления сигналов
- •§ 2.2. Общая постановка задачи дискретизации
- •Воспроизводящая функция представляется аппроксимирующим полиномом
- •§ 2.3. Способы восстановления непрерывного сигнала
- •§ 2.4. Критерии качества восстановления
- •§ 2.5. Методы дискретизации посредством выборок
- •§ 2.6. Равномерная дискретизация. Теорема котельникова
- •§ 2.7. Теоретические и практические аспекты использования теоремы котельникова
- •§ 2.8. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения
- •Оценка снизу для остаточного члена имеет вид
- •§ 2.9. Адаптивная дискретизация
- •Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства
- •§ 2.10. Квантование сигналов
- •§ 2.11. Квантование сигналов при наличии помех
- •§ 2.12. Геометрическая форма представления сигналов
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3. Количественная оценка информации
- •§ 3.1. Энтропия как мера неопределенности выбора
- •§ 3.2 Свойства энтропии
- •§ 3.3. Условная энтропия и ее свойства
- •§ 3.4. Энтропия непрерывного источника информации (дифференциальная энтропия)
- •§ 3.5. Свойства дифференциальной энтропии
- •§ 3.6. Количество информации как мера снятой неопределенности
- •§ 3.7. Эпсилон-энтропия случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Глава 4. Информационные характеристики источника сообщений и канала связи
- •§ 4.1. Основные понятия и определения
- •§ 4.2. Информационные характеристики источника дискретных сообщений
- •§ 4.3 Информационные характеристики дискретных каналов связи
- •§ 4.4. Информационные характеристики источника непрерывных сообщений
- •§ 4.5. Информационные характеристики непрерывных каналов связи
- •§ 4.6. Согласование физических характеристик сигнала и канала
- •§ 4.7. Согласование статистических свойств источника сообщений и канала связи
- •Глава 5. Кодирование информации при передаче по дискретному каналу без помех
- •§ 5.1. Кодирование как процесс выражения информации в цифровом виде
- •111 100 101
- •§ 5.2. Технические средства представления информации в цифровой форме
- •§ 5.3. Кодирование как средство криптографического закрытия информации
- •§ 5.4. Эффективное кодирование
- •§ 5.5. Технические средства кодирования
- •Глава 6. Кодирование информации при передаче
- •§ 6.1. Основная теорема шеннона о кодировании
- •§ 6.2. Разновидности помехоустойчивых кодов
- •§ 6.3. Блоковые коды
- •§ 6.4. Построение двоичного группового кода
- •0...01001, 0...01010, 0...01100.
- •§ 6.5. Технические средства кодирования и декодирования для групповых кодов
- •§ 6.6. Построение циклических кодов
- •§ 6.7. Выбор образующего многочлена по заданному объему кода и заданной корректирующей способности
- •§ 6.8 Технические средства кодирования и декодирования для циклических кодов
- •Остатки Векторы ошибок Опознаватели
- •Остатки Векторы ошибок Остатки
- •§ 6.9. Коды боуза — чоудхури — хоквингема
- •§ 6.10. Итеративные коды
- •Число ошибок такого вида в4 для блока изlхn символов равно
- •§ 6.11 Сверточные коды
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Список литературы
- •Приложения
§ 2.7. Теоретические и практические аспекты использования теоремы котельникова
Соотношения (2.19) и (2.23), как и другие разложения функции, имеют прежде всего теоретическое значение и используются при решении различных задач анализа и синтеза систем связи. В частности, они позволили подойти к вопросу передачи непрерывных и дискретных сигналов с единых позиций.
При этом мы оперируем с математическими абстракциями. Бесконечно протяженную во времени функцию (а только такая и может иметь ограниченный спектр) представляем суммой бесконечного числа бесконечно протяженных во времени составляющих функций (функции отсчетов).
Процедура теоретического восстановления конкретной реализации u(t) по ее отсчетам сводится к следующему.
На передающей стороне в исходной непрерывной функции u(t) через интервалы времени Δt определяются мгновенные значения u(nt) и передаются в канал связи в виде δ-импульсов с амплитудами Аn и бесконечно малой длительностью τ, имеющих площади Αnτ, равные u(nΔt). На приемной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр нижних частот, у которого частота среза равна Fc. При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал u(t).
Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам, равно как и попытки организовать на ее основе технический способ дискретной передачи непрерывных сигналов, наталкивается на ряд принципиальных трудностей.
Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность Т и, следовательно, при представлении его в частотной области обладает неограниченным спектром.
Однако в силу свойств реальных источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных каналов спектр сигнала с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой предельной частотой Fm. Обычно она определяется на основе энергетического критерия. Спектр ограничивается областью частот от 0 до Fm, в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала (80—95%). Такое ограничение спектра, естественно, приводит к искажению сигнала.
Относительная точность воспроизведения сигнала γ может быть определена из соотношения
где Р — энергия отброшенных высокочастотных составляющих сигнала; Рс — полная энергия сигнала.
Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам, полученным по теореме Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала, возможно только приближенно. Ошибка возникает не только за счет принудительного ограничения спектра, но и за счет конечного числа отсчетов в интервале времени Т, которых в соответствии с теоремой Котельникова будет 2FcT. Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчета, соответствующих выборкам за пределами интервала Т (рис. 2.5). Погрешность восстановления исходной функции на интервале Т по ограниченному числу членов ряда Котельникова рассматривается, например, в [19].
Модель сигнала с ограниченным спектром имеет еще одно теоретическое неудобство. Она не может отображать основное свойство сигнала — способность нести информацию. Причина — возможность теоретического предсказания поведения функции с ограниченным спектром на всей оси времени, если она точно известна на сколь угодно малом отрезке времени.
Указанные принципиальные трудности устраняются, если рассматривать теорему Котельникова как приближенную для функций с неограниченным спектром.
Во-вторых, предполагаемая процедура восстановления вносит весьма существенную дополнительную погрешность. Она возникает потому, что невозможно обеспечить создание импульсов бесконечно малой длительности, как невозможно осуществить их передачу по реальным каналам связи. Кроме того, максимум выходного сигнала, соответствующего реакции идеального фильтра низких частот на дельта-импульс, запаздывает на время, равное бесконечности. За конечное время Т (рис. 2.5) каждая функция отсчета, а, следовательно, и их сумма, представляющая собой исходный непрерывный сигнал, будут сформированы лишь приближенно и тем грубее, чем меньше Т.
Суммарная погрешность, возникающая при приемлемой сложности средств технической реализации указанного способа передачи, делает его малопригодным для практического использования при восстановлении сигнала даже в случае отсутствия помех в канале связи.
Следует отметить, что в процессе преобразования сигнала в цифровую форму критерий Котельникова используется весьма широко.