§ 2.8. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения

В процессе дискретизации непрерывная функция u(t) имеющая (n+1) ограниченных производных, аппроксимируется многочленом n-й степени. В зависимости от выбранного способа восстановления он может быть интерполирующим или экстраполирующим. Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно указывается ее допустимое значение ε₀.

Погрешность восстановления _u(t) функции u(t) многочленом u*(t) на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом L_n(t):

Следовательно, шаг дискретизации должен быть выбран из условия Ln(t)₀.

Выбор аппроксимирующего многочлена более высокой степени при малой допустимой погрешности ε₀ обеспечивает меньшее число отсчетов, однако, при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой, первой и второй степеней (ступенчатая, линейная и параболическая аппроксимации соответственно).

Преимущества и недостатки использования интерполирующих и экстраполирующих многочленов указывались ранее. В качестве интерполирующих чаще других используются многочлены Лагранжа, а в качестве экстраполирующих — многочлены Тейлора.

Дискретизация с использованием интерполирующих многочленов Лагранжа. Интерполирующий многочлен Лагранжа при равномерной дискретизации может быть записан в виде

где

Значение остаточного члена L_n(t)

где M_n+1 — максимальный во всем интервале преобразования модуль (n+1) - й производной сигнала u(t).

Пример 2.2. Определить шаг равномерной дискретизации на основе интерполирующих многочленов Лагранжа нулевой степени.

Значение восстанавливающей функцииu*(t) в любой момент времени t на каждом j-м интервале t_j-1t_j, принимается равным отсчету u(t_j) (рис. 2.6). Соотношение (2.27) позволяет получить выражение для остаточного члена:

Его максимальное значение пропорционально шагу дискретизации. Оно не должно превышать ε₀. Отсюда условие, определяющее шаг дискретизации:

Если проводить восстановление сигнала u(t) по двум отсчетам, пользуясь функциями

то при том же шаге дискретизации погрешность восстановления уменьшится вдвое (рис 2.7).

Пример 2.3. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью интерполирующих многочленов Лагранжа первой степени.

При восстановлении исходного сигнала u(t) на каждом интервале времени [t_j-1, t_j] используются два отсчета u(t_j) и u(t_j-1). Они соединяются прямой линией (рис.2.8) Максимальное значение для остаточного члена L найдем, приравняв нулю его производную.

откуда допустимый шаг дискретизации

Дискретизация с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.Экстраполирующий многочлен Тейлора определяется выражением:

где uⁿ(t₀) — n-я производная сигнала U(t) в момент времени t₀.

Оценка снизу для остаточного члена имеет вид

Пример 2.4. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени.

Значение восстанавливающей функции u*(t) в любой момент времени t на каждом j-м интервале t_j-1, принимается равным u(t_j-1) (рис. 2.9).

Значение остаточного члена Lдостигает максимума в конце интервала (при t=t_j):

поэтому шаг дискретизации должен удовлетворять условию

Пример 2.5. Определим шаг равномерной дискретизации с по мощью многочлена Тейлора первой степени.

При восстановлении сигнала u(t) помимо отсчета u(t₀) используется значение первой производной в момент времени t₀ - u'(to)

Максимум значения остаточного члена

достигается при t = t_j, Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации

Восстановление сигнала происходит без задержки во времени (рис 2.10) Однако по сравнению с интерполяционным методом (пример 2.3) для него требуется вдвое большее число отсчетов