16. Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим метод Рунге-Кутта четвертого порядка – один из самых

употребительных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Этот метод применяется настолько широко, что в литературе его часто называют «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на тип или порядок.

Итак, дано с начальным условием . Нужно найти решение уравнения (5.22) на отрезке [a, b].

Выбираем малый шаг h и на отрезке [a, b] строим систему равноотстоящих точек

Этот классический метод Рунге — Кутта описывается системой следующих пяти соотношений:

(1)

Этому процессу можно дать геометрическую интерпретацию.

В точке (х_i, у_i) вычисляется тангенс угла наклона k₁; используя его, мы идем на половину шага вперед и смотрим тангенс угла наклона здесь.

Используя новый тангенс угла наклона k₂, мы опять начинаем из (х_i, у_i), идем вперед на половину шага и опять берем пробу тангенса угла наклона.

Взяв этот последний тангенс угла наклона k₃, мы опять начинаем из (х_i, у_i), но делаем теперь полный шаг вперед, где смотрим тангенс угла наклона k₄.

Четыре тангенса углов наклона усредняем с весами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 и, беря этот средний тангенс угла наклона, делаем окончательный шаг от (х_i, у_i) к (х_i+1, у_i+1).

Ошибка ограничения для этого метода равна e_T = Kh⁵, так что формулы (1) описывают метод четвертого порядка.

При использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.

Можно показать, что классическая формула Рунге — Кутта оказывается обобщением формулы Симпсона для интегрирования функции одной переменной, причем обобщение состоит в том, что формула не ограничена теперь функциями только от х.

Рассмотрим

Пример.

y’ = y; y(0) = 1

Для этого уравнения из (1) получаем

В результате получаем для y_i+1

Сумма в скобках представляет собой теперь пять первых членов разложения функции e^h в ряд Тейлора

16. Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка:

(5.39)

Двухточечная краевая задача для уравнения (5.39) ставится следующим образом: найти функцию y = y(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению (5.39), а на концах отрезка -- краевым условиям

(5.40)

Рассмотрим на отрезке [a, b] граничную задачу для дифференциального уравнения

(1)

с условиями

(2)

где p(x), q(x), f(x) -- непрерывные на отрезке [a,b] функции

Решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2), будем искать в виде

(3)

где u = u(x) -- решение соответствующего однородного уравнения

(4)

а n = n(x) -- частное решение неоднородного уравнения

(5)

Подставим (3) в первое условие граничной задачи (2), получим (6)

Для того, чтобы равенство (6) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы сомножитель = 0,

и должны выполняться следующие равенства

(7)

Примем

(8)

где константа k отлична от нуля

Если , то (9)

если , то (10)

Видно, что u = u(x) является решением задачи Коши для однородного уравнения (4), удовлетворяющим начальным условиям (8), а n = n(x) -- решение задачи Коши для неоднородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (9) или (10).

Теперь подставим (3) во второе условие граничной задачи (2) и выразим постояннуюс

(11)

При этом предполагается, что Если выполнено это условие, то краевая задача (1)-(2) имеет единственное решение, в противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное решение.