- •Приближенные числа
- •Правила вычислений с приближенными числами.
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней и уточнение приближенных корней. Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (метод «вилки»).
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации. Приведение уравнений к виду, удобному для итерации.
- •Приближенное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.
- •Приближенное решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации.
- •Постановка задачи интерполирования функций. Общее решение задачи интерполирования функции полиномом.
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Интерполирование сплайнами
- •14 Аппроксимирование функций (15 не нашли)
- •Аппроксимирование функций. Метод ортогональных функций.
- •Квадратурная формула Ньютона-Котеса
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Численные метода решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши
- •Метод Рунге-Кутта
- •Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка.
- •Метод коллокации.
- •23.Аппроксимация производных конечно-разностными соотношениями.
- •Метод конечных разностей численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Принципы построения сеток на плоскости и в пространстве.
- •26. Построение разностных схем для уравнений параболического типа.
- •27. Экстремумы функций. Классификация методов безусловной оптимизации.
- •28. Общая характеристика методов оптимизации нулевого порядка.
- •Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса).
- •Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера-Мида).
- •Метод вращающихся координат (метод Розенброка).
- •Метод параллельных касательных (метод Пауэлла).
- •Общая характеристика методов оптимизации первого порядка.
- •34.Метод наискорейшего спуска
- •35. Общая характеристика методов оптимизации второго порядка. Метод Ньютона.
- •36. Метод Ньютона с регулировкой шага (метод с переменной метрикой)
- •37. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •38. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло
- •39. Структура искусственной нейронной сети (инс)
- •40. Компьютерная модель нейрона (нейроэлемента, нэ)
- •41. Функции активации нейроэлементов
- •45.Методы обучения элементарного перцептрона.
- •46.Многослойный перцептрон.
- •47. Понятие обучающей выборки.
Приближенное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
(2.1)
Решением системы (2.1) называется совокупность таких значений неизвестных
(2.2)
при котором каждое из уравнений этой системы обращается в тождество.
Систему (2.1) кратко можно записать в виде матричного уравнения
. (2.3)
Если определитель матрицы А не равен нулю (матрица неособенная), то решение системы (2.3) существует и единственно.
Если преобразовать систему (2.1) к специальному виду, ее можно решить методом итерации.
Но прежде надо проверить выполнение условий сходимости метода.
Для того, чтобы метод итерации сходился, необходимо, чтобы выполнялось
следующее условие сходимости для системы (2.1):
Метод итерации сходится, если выполнены неравенства:
(i = 1, 2, ..., n), (2.4)
т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов.
Преобразуем систему (2.1) к специальному виду: разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе - относительно x2 и т. д.
В результате получим эквивалентную систему
(2.5)
Введя обозначения , при
при (i, j = 1, 2, …., n)
представим систему (2.5) в виде
,(2.6)
Перепишем систему в матричной форме , (2.7)
Здесь матрицаa -- матрица с нулевыми диагональными элементами. В качестве
начального приближения
можно принять столбец свободных членов
Матрицу X(0) подставляем в правую часть системы (2.6) и получим X(1). Далее X(1) подставим в правую часть (2.7), получим X(2) и т. д. Таким образом, любое (n + 1) приближение вычисляется по формуле
(2.8)
Достаточное условие сходимости процесса итерации:
если для приведенной системы (2.6)выполнено по меньшей мере одно из условий
1(i= 1, 2, 3, …,n) или 1 (j = 1, 2, 3, …,n), (2.9)
то процесс итерации (2.8) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
Замечание 1. Решение системы может быть получено с заданным числом точных десятичных знаков. Чтобы избежать накопления погрешностей в промежуточных вычислениях, последовательные приближения X(i), i = 0, 1, 2,… вычисляют до совпадения всех требуемых знаков, после чего запасные знаки округляются.
Оценка погрешности для метода итерации:
≤ . (2.10)
Пример. Методом итерации решить систему уравнений
и оценить число необходимых для этого шагов.
Видно, что условие сходимости (2.4) для данной системы не выполняется, так как в уравнениях (а) и (b) нет диагонального преобладания. Для применения метода надо преобразовать систему к виду, для которого выполняется условие (2.4).
Умножим уравнение (а) на g , (b) на d, сложим оба уравнения и в полученном выражении выберем g и d так, чтобы появилось диагональное преобладание.
Положив g = d = 5, получим 25x1 + x2 - 3,5x3 = 5.
С уравнением (b) поступаем аналогично, вводя множители h и m.
Положив h = 2, m = 3, получим
0·x1 + 9,4x2 - 3,4x3 = -3.
В результате исходная система примет следующий вид:
Здесь есть диагональное преобладание, т. е. для системы выполняется условие сходимости (2.4).
Разрешив эту систему относительно диагональных неизвестных, получим так называемую приведенную систему уравнений (для нее выполняется условие сходимости (2.9))
В качестве начального приближения X(0) принимаем столбец свободных членов:
Применяя формулу (2.8), найдем решение системы:
= + =
= + = и т д
Решением исходной системы будет матрица: