Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры МатМетоды.docx
Скачиваний:
31
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
1.26 Mб
Скачать
  1. Приближенное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(2.1)

Решением системы (2.1) называется совокупность таких значений неизвестных

(2.2)

при котором каждое из уравнений этой системы обращается в тождество.

Систему (2.1) кратко можно записать в виде матричного уравнения

. (2.3)

Если определитель матрицы А не равен нулю (матрица неособенная), то решение системы (2.3) существует и единственно.

Если преобразовать систему (2.1) к специальному виду, ее можно решить методом итерации.

Но прежде надо проверить выполнение условий сходимости метода.

Для того, чтобы метод итерации сходился, необходимо, чтобы выполнялось

следующее условие сходимости для системы (2.1):

Метод итерации сходится, если выполнены неравенства:

(i = 1, 2, ..., n), (2.4)

т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов.

Преобразуем систему (2.1) к специальному виду: разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе - относительно x2 и т. д.

В результате получим эквивалентную систему

(2.5)

Введя обозначения , при

при (i, j = 1, 2, …., n)

представим систему (2.5) в виде

,(2.6)

Перепишем систему в матричной форме , (2.7)

Здесь матрицаa -- матрица с нулевыми диагональными элементами. В качестве

начального приближения

можно принять столбец свободных членов

Матрицу X(0) подставляем в правую часть системы (2.6) и получим X(1). Далее X(1) подставим в правую часть (2.7), получим X(2) и т. д. Таким образом, любое (n + 1) приближение вычисляется по формуле

(2.8)

Достаточное условие сходимости процесса итерации:

если для приведенной системы (2.6)выполнено по меньшей мере одно из условий

 1(i= 1, 2, 3, …,n) или  1 (j = 1, 2, 3, …,n), (2.9)

то процесс итерации (2.8) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Замечание 1. Решение системы может быть получено с заданным числом точных десятичных знаков. Чтобы избежать накопления погрешностей в промежуточных вычислениях, последовательные приближения X(i), i = 0, 1, 2,… вычисляют до совпадения всех требуемых знаков, после чего запасные знаки округляются.

Оценка погрешности для метода итерации:

. (2.10)

Пример. Методом итерации решить систему уравнений

и оценить число необходимых для этого шагов.

Видно, что условие сходимости (2.4) для данной системы не выполняется, так как в уравнениях (а) и (b) нет диагонального преобладания. Для применения метода надо преобразовать систему к виду, для которого выполняется условие (2.4).

Умножим уравнение (а) на g , (b) на d, сложим оба уравнения и в полученном выражении выберем g и d так, чтобы появилось диагональное преобладание.

Положив g = d = 5, получим 25x1 + x2 - 3,5x3 = 5.

С уравнением (b) поступаем аналогично, вводя множители h и m.

Положив h = 2, m = 3, получим

x1 + 9,4x2 - 3,4x3 = -3.

В результате исходная система примет следующий вид:

Здесь есть диагональное преобладание, т. е. для системы выполняется условие сходимости (2.4).

Разрешив эту систему относительно диагональных неизвестных, получим так называемую приведенную систему уравнений (для нее выполняется условие сходимости (2.9))

В качестве начального приближения X(0) принимаем столбец свободных членов:

Применяя формулу (2.8), найдем решение системы:

= + =

= + = и т д

Решением исходной системы будет матрица: