13. 14 Аппроксимирование функций (15 не нашли)

Интерполяционный полином не всегда удобен для приближения функций.

Если таблица значений содержит результаты какого-то эксперимента, полученные с погрешностью, то не целесообразно проводить кривую точно через все узлы, как при интерполяции. На практике часто используют другой способ приближенного представления (аппроксимации) функций, заданных таблицей, который называется методом наименьших квадратов.

Пусть функция y = f(x) задана таблицей приближенных значений y_i = f(x_i), i = 0, 1,2, …, n.

Согласно методу наименьших квадратов за меру отклонения полинома (3.12)

от данной функции f(x) на множестве точек принимают величину

(3.13)

равную сумме квадратов отклонений полинома Q_m(x) от функции f(x) на заданной системе точек. Очевидно, что S_m - это функция коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_m .

Эти коэффициенты нужно подобрать так, чтобы величина S_m была наименьшей. Полученный полином называется аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома - точечной квадратичной аппроксимацией функции.

Для нахождения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_m найдем частные производные по всем переменным a₀, a₁, a₂, …, a_m от величины

(3.14)

где y_i = f(x_i). Приравнивая эти частные производные нулю, получим систему (m + 1) уравнений с (m + 1) неизвестными:

(3.15)

В общем случае, когда аппроксимирующий полином для данной функции является обобщенным:

где -- функции, находим частные производные от величины.

Согласно (3.15), будем иметь систему уравнений, позволяющую определить коэффициенты

(3.16)

Многочлен Q_m(x) называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f(x) на [a, b]. Задача нахождения такого многочлена упрощается, если система {j_i(x)} является ортогональной на [a, b].

16. Аппроксимирование функций. Метод ортогональных функций.

Функции и называются ортогональными на множестве точек , если скалярное произведение этих функций равно нулю, т. е. = 0 (или в другой записи = 0).

Система функций {j_i(x)} называется ортогональной на множестве точек , если функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве, т. е. =0, = 0) при .

Если система {j_i(x)} является ортогональной, то коэффициенты обобщенного многочлена Q_m(x)( ) определяются по формулам

(3.17)

Если функция аппроксимируется обобщенным полиномом на отрезке [a, b], то коэффициенты можно определить по формулам

. (3.18)

Коэффициенты называются коэффициентами Фурье полинома относительно ортогональной системы функций .

Пусть на отрезке [-l, l] задана система ортогональных функций

(3.19)

Для на [-l, l] тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

(3.20)

где коэффициенты Фурье определяются формулами (3.18) и имеют вид

k = 1, 2,… (3.21)

В качестве еще одной ортогональной системы можно рассмотреть полиномы Лежандра:

n = 0, 1, 2,…). (3.22)

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке [-1, 1], т. е.

= 0 при .

Обобщенный многочлен степени n относительно ортогональной системы алгебраических полиномов Лежандра имеет вид

(3.23)

(3.24)

Замечание. Если функция определена на [a, b], то с помощью линейного преобразования (3.24)

можно получить полином Лежандра, ортогональный на отрезке [a, b]:

(3.25)

Важно:аппроксимирующая функция (в отличие от

интерполирующей) не обязана принимать в узлах интерполяции те же значения, что и исходная функция.

Пример 1.

Найти алгебраический многочлен степени n = 2 наилучшего среднеквадратичного приближения для функции

на отрезке [0,2].

Запишем полином в виде

где -полиномы Лежандра (см. (3.25)).

Для перехода к отрезку [-1, 1] от [0,2] делаем замену переменных

Запишем новую функцию , определенную на отрезке [-1, 1]:

По формуле (3.24) найдем коэффициенты Фурье c_i:

Таким образом, искомый полином запишется в виде

Пример 2.

Имеется таблица значений функции:

x	10	20	30	40	50	60	70	80
y	15,3	20,5	27,4	36,6	49,1	65,6	87,8	117,6

Представить зависимость величин x и y в виде функции .

Прологарифмируемфункцию и получим

Если ввести обозначения то последнее выражение можно переписать в виде u = bx + c.

При этом исходная таблица значений примет следующий вид:

x	10	20	30	40	50	60	70	80
u =ln y(x)	2,73	3,02	3,31	3,60	3,89	4,18	4,48	4,77

Вычислим коэффициенты a и b с использованием метода наименьших квадратов.

Сумма квадратов отклонений искомой функции от значений y_i в каждой точке x_i должна быть минимальна, т. е.

®min

Имеем

Перепишем в развернутом виде:

Послеподстановкичисленныхзначенийполучаем

Приведяподобныечлены, получаемсистему

Отсюда находим

b = 0,029; c = 2,436; a = e^2,436 = 11,472

Окончательно, искомая функция имеет вид