Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней и уточнение приближенных корней. Графическое решение уравнений.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Международный государственный экологический университет им. А. Д. Сахарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шпоры МатМетоды.docx

Скачиваний:

Добавлен:

22.09.2019

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней и уточнение приближенных корней. Графическое решение уравнений.

Пусть дано уравнение

, (1)

где f(x) – заданная функция действительного или комплексного аргумента x.

Всякое значение с, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. для которого выполняется равенство , называется корнем уравнения (1) или корнем (нулем) функции f(x).

Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

1) отделение корней, т. е. нахождение наиболее узких интервалов [a, b], в каждом из которых содержится один и только один корень данного уравнения (количество интервалов определяется видом функцииf(x));

2) уточнение приближенных корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности.

Для отделения корней чаще всего применяют графический метод, основанный на том, что вещественные корни уравнения (1) являются точками пересечения графика функции f(x) с осью x. Следовательно, построив график , можно принять за приближенные значения корней абсциссы точек пересечения графика с осью x.

Иногда, при применении графического метода, удобно функцию f(x) представить в виде и затем, построив графики и , найти абсциссы их точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней.

Пример.

Отделить корни уравнения .

Можно построить график функции . Точки пересечения этого графика с осью x будут являться приближенными корнями уравнения.

Кроме того, можно исходное уравнение записать в виде и построить графики и . Абсциссы точек пересечения этих графиков можно принять за приближенные корни заданного уравнения.

Еще одним способом отделения корней является исследование функции f(x) с целью установления интервалов, на которых происходит изменение знака функции.

При этом полезна следующая теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и принимает на концах данного интервала значения разных знаков, т. е. <0. Тогда внутри интервала [a, b] найдется такая точка с, значение функции в которой равно нулю, т.е. и которая является корнем данного уравнения.

Корень с заведомо будет единственным на [a, b], если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри данного интервала, т.е. если >0 или <0.

Численные методы, используемые для уточнения приближенных корней, применяются для каждого найденного интервала заданного уравнения.

Метод половинного деления (метод «вилки»).

Пусть дано уравнение .

Определяем, какие корни требуется найти, например, только положительные или только отрицательные и т. д. Затем графическим методом находим интервалы, в каждом из которых находится только один корень данного уравнения.

Пусть искомый корень с принадлежит интервалу [a, b]. Функция непрерывна на [a, b] и выполняется условие <0. Разделим отрезок [a, b] пополам точкой и получим уже два интервала: [a, d] и [d, b]. Далее выбираем тот отрезок, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков (это значит, что внутри данного отрезка содержится корень уравнения) и опять делим его пополам. Повторяем все эти действия до тех пор, пока длина отрезка, содержащего корень, не станет меньше погрешности, с которой ищется корень.