Метод итерации. Приведение уравнений к виду, удобному для итерации.
Метод итерации является универсальным: его можно применять для решения обширного класса как линейных, так и нелинейных уравнений. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение , (5)
где
-
непрерывная функция, и требуется найти
его вещественные корни. Преобразуем
уравнение (5) в эквивалентное уравнение
вида
. (6)
Выберем начальное приближение
x0
и, подставив его в правую часть уравнения
(6), получим число
.
Затем вычислим
и т. д. Получим последовательность чисел
,
определяемую равенством
,
n = 0, 1,
2,... (7)
Для того, чтобы последовательность
сходилась к корню с
уравнения (5), необходимо выполнение
условия сходимости: если
функция
определена и дифференцируема на отрезке
[a,
b] и
q<1 при
всех a
x
b, то
процесс итерации
,
n = 0, 1, 2,...
сходится к корню с уравнения
независимо от начального значения.
Условие сходимости метода итерации q<1, (8)
где q – максимальное значение производной на интервале, в котором находится корень уравнения (если корней несколько, то условие сходимости должно выполняться для каждого интервала).
Чем ближе к нулю максимальное значение производной q, тем выше скорость сходимости метода.
Замечание.
Пусть в некоторой окрестности [a,
b] корня с
уравнения
производная
сохраняет постоянный знак и выполнено
неравенство
q<1.
Тогда, если производная
положительна, т. е. 0
q<1,
то последовательные приближения
,
n = 0, 1,
2,...,
сходятся к корню монотонно. Если же
производная
отрицательна, т.е. 1<q
0
то последовательные приближения
колеблются около корня с.
Для метода итерации большое
значение имеет способ преобразования
уравнения (5) к виду (6), т. е. выбор функции
,
которая должна подчиняться условию
сходимости
q<1.
Рассмотрим один достаточно общий прием приведения уравнения (5) к виду (6), для которого обеспечено выполнение неравенства (8).
Пусть искомый корень лежит
в интервале [a, b],
причем 0 <m
M, (9)
для
,
где m –
наименьшее значение производной
на [a, b],
а M –
наибольшее значение производной
на [a, b].
Если производная
отрицательна, то вместо уравнения
рассматриваем уравнение
.
Заменим уравнение (5) эквивалентным уравнением вида
,
>0. (10)
Сравнивая (10) и (6), видим, что
.
Так как метод итерации должен быть сходящимся и для функции должно выполняться условие (8), то будем иметь
0
=
q<
1. (11)
Учитывая выражение (9), получим следующую оценку:
0 
q. (12)
Можно положить:
(13)
<
1. (14)
В методе итерации в качестве начального приближения чаще всего принимается один из концов интервала [a, b].
Оценка погрешности n-го
приближения
к корню с
уравнения такова:
, (15)
где
на [a, b].
Замечание1.
При нахождении корня уравнения
с заданной точностью
>0
или при оценке погрешности n-го
приближения
можно, не вычисляя точного значения
числа
на [a, b],
ограничиться следующей практической
рекомендацией:
(16)
Замечание2. Преимущество метода итерации заключается в том, что сходимость процесса не зависит от выбора начального приближения . Отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не выводящая за пределы отрезка [a, b], не повлияет на конечный результат. Здесь мы встречаемся со свойством самоисправляемости сходящегося итерационного процесса.
Пример 1.
Методом итерации решить
уравнение
.
Графически отделяя корни данного уравнения, заключаем, что уравнение имеет единственный действительный корень, принадлежащий отрезку 1,1; 1,2.
Преобразуем данное уравнение
к виду (6) следующим образом:
.
При таком преобразовании функция
.
Проверим выполнение условия сходимости
(8).
.
1
1.
Видно, что условие сходимости (8) не выполняется и такое преобразование не подходит, т. к. метод будет расходиться.
Пример 2.
Методом итерации найти решение
уравнения
.
(17)
При помощи графического метода отделим корни уравнения, т. е. найдем интервалы, в каждом из которых содержится единственный корень уравнения. Данное уравнение имеет один действительный корень, который содержится в интервале 1,6; 1,7.
Проверим условие нахождения
корня в интервале
:
f(1,6) = - 0,144 0,
f(1,7) = 0,353 0.
,
следовательно, корень данного уравнения
действительно содержится в интервале
1,6;
1,7.
Преобразуем уравнение к виду : (18)
. (19)
Сравнивая (18) и (19), видим, что
.
Проверим выполнение условия сходимости q<1,
где q – максимальное значение производной на интервале 1,6; 1,7.
≈
0,356 <1,
≈
0,436 <1.
Условие сходимости выполняется
и корень уравнения можно уточнять,
используя итерационную формулу
.
= 1,6.
= 1,61853,
= 1,62528,
x3 = 1,62781, x4 = 1,62877, x5 = 1,62913, x6 = 1,62927, x7 = 1,62932, x8 = 1,62934, x9 = 1,62935,
x10 = 1,62935, x11 = 1,62936, x12 = 1,62936.
Корень уравнения x = 1,62936.
Можно предложить еще такой
способ: представим исходное уравнение
в виде
.
Отсюда
.
Сравнивая полученное выражение
и (6), видим, что
.
Проверим условие сходимости
(8):
.
= 0,512 <1,
= 0,493 <1.
Условие сходимости выполняется
и корень уравнения можно уточнять,
используя формулу
.
= 1,6.
= 1,6144,
= 1,62175,
x3 = 1,62550, x4 = 1,62740, x5 = 1,62836, x6 = 1,62885, x7 = 1,62910, x8 = 1,62923, x9 = 1,62929,
x10 = 1,62932, x11 = 1,62934, x12 = 1,62935, x13 = 1,62936, x13 = 1,62936. Корень уравнения x = 1,62936.