2. Критерии оценки погрешностей

Погрешность (информационно–измерительной системы, результата измерений, результата эксперимента) – случайный процесс. Ее полной характеристикой является закон распределения, который может быть представлен в виде условной плотности распределения вероятностей или безусловной плотности распределения вероятностей , если статистическая связь между погрешностью и вектором измеряемых величин Р отсутствует. Практически использование плотности распределения вероятностей в качестве критерия погрешности сопряжено с рядом трудностей и не всегда возможно. Поэтому принято оценивать погрешности числовыми характеристиками, связанными тем или иным оператором с законом распределения. К таким характеристикам относятся экстремальные и интегральные оценки, а также оценки, основанные на применении доверительных интервалов. Плотность распределения вероятностей используется, главным образом, для оценки погрешностей экспериментальных и опытных образцов информационно–измерительных систем высокоточных внешнетраекторных измерений с целью идентификации источников погрешностей и их устранения, а также дифференциации погрешностей на случайные и систематические и изучения законов их поведения. Наиболее употребительной экстремальной оценкой погрешности является модуль максимального отклонения или, полагая здесь и ниже оператор идеальной информационно–измерительной системы тождественно равным единице и опуская индекс р в векторе выходного сигнала, имеем: В качестве наиболее употребительной интегральной оценки погрешности используется среднеквадратичное отклонение, определяемое выражением

или дисперсия оценки ,

здесь D_p – область существования измеряемой величины и оценки.

Упрощенная оценка среднеквадратичного отклонения в предположении может быть получена по выражению

или для случая дискретных измерений

.

Значение n = 1 вместо n в знаменателе обеспечивает несмещенность оценки, – совместная плотность распределения измеряемой величины р и ее оценки . Иногда вместо среднеквадратичной погрешности используется ее интегральная оценка в виде среднего модуля отклонения

.

представляют собой так называемые точечные оценки погрешности. Они в той или иной степени удобны в качестве оценок точности информационно–измерительной системы, отдельных технических средств и преобразований информации в процессе измерений и отработки результатов.

Интервальные или вероятностные оценки погрешностей дают более полную характеристику, чем точечные, позволяя определить вероятность , с которой погрешность не выходит за заданные пределы, . Естественно, что для определения интервальной оценки необходимо знание закона распределения вероятностей погрешности , поскольку

.

С интервальной оценкой связана так называемая предельная погрешность , за которую условились принимать такое значение погрешности, вероятность превышения которого не более 0,003, т.е.

.

В случае нормального закона распределения погрешностей предельная погрешность связана со среднеквадратичной соотношением .

Для сравнения информационно–измерительных систем и их средств между собой, а также при совместной обработке результатов измерений, выполненных информационно–измерительными системами, обладающими различной точностью, используются оценки погрешностей в виде функций потерь, которые строятся так, чтобы малым погрешностям соответствовали меньшие потери. При этом функция потерь может быть линейной, т.е. связанной с экстремальной погрешностью соотношением , квадратичной, т.е. связанной со среднеквадратичным отклонением выражением , или более сложной. Из последнего выражения видно, что оценка погрешности в виде функции потерь совпадает со среднеквадратичным отклонением при .

Наконец, при оптимизации информационно–измерительных систем в качестве оценки погрешности используется условный или безусловный средний риск, представляющий собой усредненную функцию потерь при фиксированном значении измеряемой величины или по всем возможным значениям измеряемой величины, и определяемый выражениями

,

.

Перечисленные критерии оценки погрешностей обладают определенными преимуществами и недостатками. Чем более полон критерий, тем больше априорных сведений необходимо иметь для получения погрешности. Так, например, для использования среднего риска в качестве критерия оценки погрешности необходимо выбрать функцию потерь и знать условный закон распределения оценки измеряемой величины при ее фиксированном значении или совместное распределение вероятностей измеряемой величины и ее оценки. Эти вероятностные характеристики могут быть определены только на основании натурного эксперимента. Для выбора вида функции потерь также необходимо иметь дополнительные сведения. Интервальные оценки погрешностей нашли большое применение при летных испытаниях и, особенно, для оценки точности внешнетраекторных измерений, позволяя судить, какова вероятность получения погрешности заданной величины в конкретном эксперименте. Однако, для их определения необходимо достоверное знание закона распределения погрешностей. Поэтому они используются при проведении особо ответственных летных испытаний, при паспортизации измерительной трассы, а также для исследования и оценки точности высокоточных опытных оптических и радиотехнических средств внешнетраекторных измерений. Наиболее употребительными являются оценки погрешностей в виде экстремальной и среднеквадратичного отклонения, что связано, прежде всего, с простотой их экспериментального определения. При этом экстремальные оценки целесообразны при летных испытаниях на предельных режимах, прочностных испытаниях и вообще во всех случаях, когда исследуемые процессы (объект) могут приближаться к аварийным ситуациям. Наоборот, среднеквадратичное отклонение, оценивая погрешность в среднем, удобно для общей оценки точности информационно–измерительной системы и результатов измерений, эксперимента и, главным образом, при сравнении различных информационно–измерительных систем, а также экспериментов, осуществляемых разными методами, средствами и проводимых в различных условиях.