Арифметические основы эвм. Системы счисления

Способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов(цифр) называется системой счисления. Цифры - символы, при помощи которых записывается число. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Непозиционные системы счисления.

Системы счисления в которых каждой цифре соответствует величина, независящая от местоположения этой цифры в записи числа, называются непозиционными. Наиболее известная непозиционная система счисления- римская. В римской системе счисления для изображения чисел используются символы I, V, X, L, C, D, …. Десятичное число 27 представляется следующим образом: XXVII=10+10+5+1+1. Следовательно, количественное значение числа определяется суммой значений символов. При изображении некоторых чисел количественное значение числа не всегда определяется непосредственным сложением цифр, может иметь значение местоположение некоторой цифры по отношению к цифре, стоящей слева, либо к цифре стоящей справа т.е., значение цифры(символа) зависит от места занимаемого этой цифрой по отношению к другой цифре(символу). Например, число 99 в римской системе счисления изображается как следующая совокупность цифр-символов:XCIX, для того, чтобы изобразить число 90 цифру 10(Х) располагают слева от цифры 100(С), а для изображения числа 9цифру 1(I) располагают слева от цифры 10(Х) и только затем находится сумма цифр. Значение цифры не зависит от позиции, которую эта цифра занимает, но при этом учитывается местоположение цифры по отношению к другому символу. Например, число XC=90, а числоCX=110; число XI=11, а число IX=9. В непозиционных системах счисления не представляются дробные и отрицательные числа. Арифметические операции выполнит в непозиционной системе счисления очень сложно, так как отсутствуют правила для выполнения действий.

Позиционные системы счисления.

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными. Для позиционных систем счисления характерным и определяющим является наличие основания системы, которое показывает , во-первых, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию(влево или вправо) и, во-вторых, какое количество различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом системы, используемый для записи любого числа.

Итак, под алфавитом позиционной системы счисления понимают совокупность различных цифр (символов), используемых для записи чисел.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр - символов.

При этом основанием традиционной системы счисления может быть любое натуральное число р2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию. Количество цифр, используемых в р-ичных системах счислениях для записи алфавита равно основанию системы счисления Например, алфавит двоичной системы счисления состоит из двух цифр 0 и 1. Алфавит двенадцатеричной системы счисления состоит из 12 цифр-символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Традиционных цифр-символов для записи алфавита этой системы счисления оказалось недостаточно, поэтому были введены в качестве цифр заглавные буквы латинского алфавита.

В теории чисел рассматриваются системы счисления основаниями которых могут быть любые натуральные числа>1, а также доказывается, что в любой позиционной системе счисления можно записать любое число и притом единственным образом.

Запишем алфавиты систем счисления, используемых в информатике:

- двоичная система счисления 0,1;

- четверичная система счисления 0,1,2,3;

- восьмеричная система счисления 0,1,2,3,4,5,6,7;

- шестнадцатеричная система счисления 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Любое число А в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a_i, взятых из алфавита системы на последовательные целые степени основания p (так называемая развернутая форма записи числа):

, (1.1)

где m — количество цифр в целой части числа или А_q= q_k, для целой части числа и А_q= q^k (1.2)

где а_к-любая цифра из алфавита системы с основанием равным q, m, n-число позиций соответственно для целой и дробной частей числа.

Степенной ряд для целой и дробной частей числа можно представить эквивалентными выражениями по схеме Горнера:

для целой части: А_q= a_kq_k=(…((a_m-1q+a_m-2q)q+a_m-3)q+…+a₁)q+a₀; (1.3)

для дробной части A_q= a_kq_k=q^-1(a_-1+q^-1(a_-2+…q^-1 (a_-k+1+a_-kq^-1)…)). (1.4)