Перевод чисел из р-ичной системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы перевести р-ичное число в десятичную систему счисления, запишем его в развернутой форме, а затем, выполнив необходимые вычисления, получим соответствующее десятичное число.
Пример 1.
Перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную следующие числа:
-13.48; 27.518; 14.28; 127.038
Запишем развернутую форму записи числа в восьмеричной системе счисления, основание системы счисления108, выразим цифрой десятичной системы счисления 108=810
Выполним перевод для первого числа:
-13.48= -(138+0.48)
-13.48= -11.510.
Остальные примеры решите самостоятельно.
Пример 2.
Перевести следующие числа: 1110011.012, -456.078, 1АС.1516.
1110011.01=126+125+124+023+022+121+120+
02-1=64+32+16+2+1+0.25=115.25; остальные примеры выполните самостоятельно.
В дальнейшем при решении примеров по переводу чисел из одной системы счисления в другую (при этом обе системы имеют в качестве основания степени числа 2) может понадобиться таблица переводов.
Таблица переводов.
Система счисления с основанием 10 |
Система счисления с основанием 2 |
Система счисления с основанием 8 |
Система счисления с основанием 16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
Двоично-восьмеричная система счисления.
Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:
1001101.10112
Для того, чтобы представить исходное число в восьмеричной системе счисления разобьем его на триады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.
001 001 101.101 100 = 115.548
Каждая двоичная триада заменяется восьмеричным числом.
Двоично-шестнадцатеричная система счисления.
Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:
1001101.10112
Для того, чтобы представить исходное число в шестнадцатеричной системе счисления разобьем его на тетрады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.
0100 1101.1011 = 4D.B
Каждая двоичная тетрада заменяется соответствующим шестнадцатеричным числом.
Обратный перевод из восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
При выполнении перевода следует помнить о том, что для восьмеричной системы счисления каждая цифра заменяется двоичной триадой, а для шестнадцатеричной системы счисления каждая цифра заменяется двоичной тетрадой.
Пример 1.
Перевести восьмеричное число 4501 в двоичную систему счисления.
45018=100 101 000 0012.
Пример 2.
Перевести шестнадцатеричное число 4А9С05 в двоичную систему счисления.
4А9С0516=100 1010 1001 1100 0000 01012.
Задачи.
Перевести обыкновенную дробь , представленную в десятичной системе счисления , в восьмеричную систему счисления.
Решение.
Применим правило перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую.
8= =3 целая часть результата является первым разрядом искомой дроби, дробная часть результата равна , следовательно мы вышли на период. Первый найденный разряд выражен в алфавите восьмеричной системы счисления.
Ответ: =0.(3)8.
Перевести обыкновенную дробь представленную в десятичной системе счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение.
16= =2
16= =14 .
Процесс умножения прекращается, так как найден период результирующей дроби. Теперь необходимо полученные целые числа выразить в алфавите шестнадцатеричной системы счисления. Первый разряд искомой дроби выражен в алфавите шестнадцатеричной системы счисления, выразим второй разряд искомой дроби в алфавите шестнадцатеричной системы счисления: 1410=Е16.
Ответ: 10=0.2(Е)16.
Периодическую дробь 0.(23), представленную в десятичной системе счисления, перевести троичную систему счисления.
Решение.
Заменим периодическую дробь0.(23)10 обыкновенной дробью.
Для этого проделаем следующие действия:
а) Обозначим исходную дробь через х, тогда
х=0.(23) (1)
б) Умножим левую и правую части уравнения (1) на 102 (показатель степени равен количеству нулей в периоде), получаем
100х=23.(23) (2)
в) Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), получаем
100х-х=23 (3)
г) Найдем из уравнения (3) х
х= .
Применяя правило перевода дробей, переведем полученную обыкновенную дробь в троичную систему счисления.
3= =0
3= =2