4. Дерева рішень
Наведена вище табл.2.2 може бути зображена у вигляді дерева рішень (рис.4). На цьому дереві квадратик означає місце, де рішення приймає людина (ОПР), а кружок – місце, де все залежить від випадку. На гілках дерева записані уже знайомі нам значення ймовірностей, а справа, біля кінцевих гілок, – значення результатів випробувань.
p=0,7 350
d1 –50
1–p=0,3
p=0,7 –100
d2
500
1–p=0,3
Рис.4. Дерево рішень
Ми можемо використати його для зображення своїх можливих дій і для знаходження послідовності правильних рішень, які ведуть до максимальної очікуваної корисності. Щоб це показати, ускладнимо задачу. Надамо ОПР, яка вибирає між діями d1 i d2 , додаткові можливості. Нехай вона до своєї відповіді витягне за певну плату одну кулю з вази, причому після витягування куля знову кладеться назад у вазу. Плата за витягування однієї кулі 60 грн. Тепер питання про те, яке рішення слід прийняти, стало складнішим: необхідно вирішити, чи має сенс витягування кулі з вази і яку дати відповідь після витягування червоної чи білої кулі. Для прийняття цих рішень нам суттєво допоможе відомий із теорії ймовірностей (і теорії статистичних рішень) спосіб підрахунку зміни ймовірності подій після одержання додаткової інформації [2].
Повернемося до опису задачі. Ймовірність витягнути червону кулю з вази 1–го типу pч(B1)=0,6, а з вази 2–го типу pч(B2)=0,3. Знаючи всі умовні ймовірності (залежні від умов), а також ймовірності p1 i p2 вибору ваз 1–го і 2–го типу (табл.2.2), ми можемо поставити такі питання.
Перше питання: які ймовірності витягнути червону і білу кулю? Для відповіді на це питання проведемо прості обчислення. Ймовірність витягнути червону кулю pч(B1)=0,7 0,6=0,42, якщо ваза виявиться 1–го типу, pч(B2)=0,30,3=0,09, якщо ваза виявиться 2-го типу. Отже, ймовірність витягнути червону кулю pч=0,42+0,09=0,51. Аналогічно можна підрахувати, що ймовірність витягнути білу кулю pб=0,49.
Друге питання більш складне. Нехай витягнута куля виявилась білою (червоною). Яку дію слід вибрати: d1 чи d2 ? Для відповіді на це питання треба знати ймовірності належності ваз до 1–го і 2–го типу після одержання додаткової інформації. Ці ймовірності дозволяє обчислити знаменита формула Бейєса [2].
Наприклад, ми витягли червону кулю. Яка після цього ймовірність, що перед нами стоїть ваза 1–го типу?
Наведемо всі позначення ймовірностей:
pч(В1) – імовірність витягнути червону кулю з вази 1–го типу;
pб(В1) – ймовірність витягнути білу кулю з вази 1–го типу;
pч(В2) – ймовірність витягнути червону кулю з вази 2–го типу;
pб(В2) – ймовірність витягнути білу кулю з вази 1–го типу;
p(В1) – ймовірність того, що ваза 1–го типу;
p(В2) – ймовірність того, що ваза 2–го типу;
p(В1/ч) – ймовірність того, що ваза виявиться 1–го типу після витягування червоної кулі;
p(В1/б) – ймовірність того, що ваза виявиться 1–го типу після витягування білої кулі;
p(В2/ч) – ймовірність того, що ваза виявиться 2–го типу після витягування червоної кулі;
p(В2/б) – ймовірність того, що ваза виявиться 2–го типу після витягування білої кулі.
Формула Бейєса дозволяє обчислити ймовірності р(Вi/ч) і р(Вi/б) , де i=1,2 , використовуючи всі інші ймовірності. Наприклад:
.
Для нашої задачі: p(В1/ч)=0,82; p(В1/б) =0,57; p(В2/ч) =0,18; p(В2/б)=0,43.
Тепер ми маємо всю інформацію, необхідну для прийняття рішень.
На рис.5 показано дві основні гілки дерева рішень, причому верхня просто повторює дерево рішень на рис.4. Квадратик 1 зліва відповідає першому рішенню – витягувати кулю чи ні. Випадку відмови від витягування кулі відповідає верхня основна гілка. Рішенню витягувати кулю – нижня гілка, яка починається з випадкової події (кружок). У квадратиках 2,3,4 приймаються рішення про вибір однієї з двох стратегій: d1 або d2. Далі все вирішує випадок (кружки).
Для вибору оптимальної (за критерієм максимуму очікуваної корисності) послідовності рішень на основі дерева рішень можна рекомендувати три прості правила:
1) йти від кінцевих гілок дерева до його кореня;
2) там, де є випадковість (кружок), знаходиться середнє значення;
3) там, де є етап прийняття рішень (квадратик), вибирається гілка з найбільшою очікуваною корисністю, а інша відтинається двома рисочками.
Застосуємо ці правила до дерева рішень, зображеного на рис.5. У результаті одержимо дерево рішень, показане на рис.6.
p=0,7 350
d1 q=0,3 –50
2
d2 0,7 –100
0,3 500
0,82 350
d1
1 3 0,18 –50 0,82 –100
Ч d2
0,18 500
pk=0,51
–60
0,57 350
Б d1
4 0,43 –50
0,57 –100
d2
0,43 500
Рис.5. Дерево рішень
p=0,7 350
d1 q=0,3 –50
2
d2 0,7 –100
0,3 500
0,82 350
d1
1 3 0,18 –50 0,82 –100
Ч d2
0,18 500
pk=0,51
–60
0,57 350
Б d1
4 0,43 –50
0,57 –100
d2
0,43 500
Рис.6. “Згортання” дерева рішень
На цьому рисунку кружечками вказані середні значення корисності, двома рисочками відтинаються гілки з меншим значенням очікуваної корисності. Найкращий варіант дій: кулю не витягувати і вибрати дію d1. Цей варіант відповідає самому верхньому шляху дерева рішень на рис.6. Така процедура знаходження оптимального шляху на дереві рішень одержала назву “згортання” дерева рішень.
Дерева рішень для заданих числових значень імовірностей і результатів випробувань дозволяють здійснити вибір тієї стратегії (послідовності дій), для якої досягається найбільший виграш, тобто маємо максимум функції корисності.