2. Класифікація задач прийняття рішень

ЗПР можна класифікувати за різними ознаками залежно від кількості та якості доступної інформації. В загальному ЗПР можна представити таким набором даних: < T, A, K, X, F, G, D > , де

T – постановка задачі (вибір найкращої альтернативи або впорядкування всього набору альтернатив);

A – множина допустимих альтернативних варіантів;

K – множина критеріїв вибору;

X – множина методів вимірювання переваг (наприклад, використання різних шкал);

F – відображення множини допустимих альтернатив на множину критеріальних оцінок;

G – система переваг експерта;

D – вирішальне правило, яке відображає систему переваг.

Будь-яка з цих ознак може бути основою для класифікації. Розглянемо деякі з цих критеріїв більш детально.

1. За видом відображення F. Відображення множини A на множину K може мати функціональний, імовірнісний або невизначений характер, відповідно до якого задачі прийняття рішень можна розділити на ЗПР в умовах ризику та ЗПР в умовах невизначеності.

2. Потужність множини K (кількість елементів). Множина критеріїв вибору може містити один елемент або декілька. Відповідно до цього ЗПР можна розділити на задачі зі скалярним критерієм та задачі з векторним критерієм – багатокритеріальне прийняття рішень.

3. Тип множини G. Переваги можуть формуватися однією людиною або колективом. Залежно від цього ЗПР можна класифікувати на задачі індивідуального вибору прийняття рішень та задачі колективного прийняття рішень.

Задачі прийняття рішень в умовах визначеності – це такі задачі, для розв’язку яких є достовірна та достатня кількість інформації. Для них з успіхом використовують методи математичного програмування, суть яких полягає в знаходженні оптимальних рішень на базі математичної моделі реального об’єкта. Приклади таких задач: транспортна задача, задачі оптимального розподілу ресурсів тощо.

Умови для прийняття методів математичного програмування:

• задача добре формалізована, тобто маємо адекватну математичну модель реального об’єкта;

• існує єдина цільова функція (критерій оптимальності), яка забезпечує можливість оцінити якість розглянутих альтернативних варіантів;

• значення цільової функції допускають кількісну оцінку;

• задача має певні ступені вільності (ресурси оптимізації),тобто деякі параметри функціонування системи можна довільно змінювати у певних межах для поліпшення значень цільової функції.

Під час побудови моделей, адекватних реальним ситуаціям, іноді доцільно відобразити той факт, що при відповідній компенсації (штрафі) можна допустити порушення тих чи інших обмежень. Пояснимо це на прикладі. Фірма, яка проводить певні заходи щодо організації нового виробництва, звичайно має обмежений інвестиційний фонд, але може збільшити обсяг капіталовкладень за рахунок позики необхідних засобів. Штраф у цьому випадку є процент, під який була отримана позика. Природно, що залучення позичкових засобів виявиться економічно виправданим тільки в тому випадку, коли нове виробництво буде прибутковим з урахуванням процентів виплат. Такий вид математичного моделювання часто називають цільовим програмуванням, так як уже саме формулювання моделі орієнтоване на знаходження рівня використання тих чи інших ресурсів, який відповідав би цілі, поставленої особою, яка приймає рішення [5, c.55-56].

Модель цільового програмування розглянемо на такому простому прикладі. В процесі виготовлення двох видів виробів здійснюється послідовна обробка відповідних заготовок на двох різних верстатах. Кожний верстат може використовуватися для виробництва по 8 год. на добу, але фонд часу можна збільшити на 4 год. за рахунок понаднормових робіт. Кожна година понаднормових робіт вимагає додаткових витрат у розмірі 5 грн. Дані про продуктивність верстатів у розрахунку на один виріб наведені в таблиці 3.2. Необхідно визначити такі обсяги виробництва виробів кожного виду, щоб забезпечити одержання максимального чистого прибутку.

Таблиця 3.2

Верстат	Продуктивність, виробів/год.
	Виріб 1	Виріб 2
1	5	6
2	4	8
Прибуток на 1 виріб	6 грн.	4 грн.

Словесне формулювання задачі:

Визначити кількість виробів кожного виду (змінні), які необхідно виготовити, щоб одержати максимальний чистий прибуток, за умови, що час використання верстатів може бути збільшено тільки за рахунок понаднормових робіт (обмеження).

Математична модель задачі:

Нехай – кількість виробів j, j=1,2. Якщо понаднормові роботи не допускаються, то обмеження мають вигляд

(верстат 1) ,

(верстат 2) .

Для врахування можливості понаднормових робіт можна модифікувати ці обмеження таким чином:

,

,

де введені змінні y₁ і y₂ не мають обмеження на знак, що зумовлено такими факторами. Якщо змінна y_i від’ємна, то наявний восьмигодинний фонд робочого часу повністю не витрачений, тобто понаднормовий час не використовується. Якщо змінна y_i додатна, восьмигодинного фонду часу не вистачає, і використовується понаднормовий час в обсязі y_i годин.

Уводячи змінні y_i для врахування можливості використання понаднормового часу, ми не приймали до уваги обмеження, які необхідно накласти на ці змінні. Тепер слід урахувати, що протяжність понаднормових робіт не перевищує 4 год. на добу. Крім того, у виразі для цільової функції необхідно врахувати додаткові витрати, зумовлені понаднормовими роботами. Оскільки змінна y_i додатна тільки в тому випадку, коли використовується понаднормовий час, обмеження адекватно відображають умови можливості використання понаднормового часу. Зауважимо, що при y_i<4 (понаднормові роботи не виконуються) ці обмеження стають надлишковими.

Розглянемо тепер цільову функцію. Вона повинна виражати максимум чистого прибутку, який являє собою загальний прибуток, зменшений на величину додаткових витрат, зв’язаних із використанням понаднормових робіт. Величина загального прибутку визначається безпосередньо з умови задачі як 6x₁+4x₂ . Додаткові витрати на понаднормові роботи враховуються тільки для y_i>0. Таким чином, зручно представити їх у вигляді 5(max{0,y_i}). Зауважимо, що max{0,y_i}=0, якщо y_i<0 ; при цьому витрати на понаднормові витрати дорівнюють нулю.

Таким чином, математична модель задачі має вигляд

при обмеженнях

– обмеження на знак не мають.

Для зведення моделі до лінійної форми використаємо змінну w_i:

,

яка еквівалентна умовам:

,

так як від’ємний коефіцієнт при w_i у виразі для цільової функції впливає на неї таким чином, що в процесі оптимізації буде вибиратися найменше з можливих невід’ємних значень, тобто 0 або y_i.

Отже, модель лінійного програмування для нашої задачі можна записати так:

при обмеженнях

– обмеження на знак не мають.

Задачі прийняття рішень в умовах ризику – це ті випадки, коли можливі результати можна описати за допомогою деякого розподілу ймовірностей. Наприклад, у задачах систем масового обслуговування в основному використовується розподіл Пуассона. Для розв’язування цих задач використовуються методи теорії ймовірності та теорії корисності. Вони займають проміжне місце між задачами прийняття рішень в умовах повної визначеності та невизначеності.

Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності мають місце, коли інформація, необхідна для прийняття рішень, є неповною, неточною, некількісною, а формальні моделі досліджуваної системи або дуже складні, або взагалі відсутні. Ми розглянемо три підходи до прийняття рішень в умовах невизначеності: теорію корисності, метод аналізу ієрархій та теорію нечітких змінних. Ці підходи найбільш розроблені в комп’ютерних системах підтримки і прийняття рішень (СППР, OLAP – On Line Analytical Processing). OLAP – це методи, технології та програмні продукти для побудови систем підтримки рішень на основі динамічного, інтерактивного, багатовимірного аналізу даних [7].

Одна з таких СППР – “Солон-2” – розроблена в Інституті проблем реєстрації інформації НАН України [8]. В ній реалізовано метод ієрархій прийняття рішень для задач з одним та багатьма критеріями.