2. Визначення ефективних рішень

Визначення ефективних рішень складає важливий етап у послідовній процедурі вибору рішень і спирається на використання принципу Парето. Як правило, застосування цього принципу дає можливість визначити не одне, а деяку підмножину ефективних рішень. Тому поняття оптимального рішення не обов’язково означає єдине рішення. Це в загальному випадку підмножина рішень. У тих випадках, коли ефективне рішення являється єдиним, то воно є остаточним оптимальним рішенням.

Нехай маємо множину допустимих рішень і групова ОПР уключає d членів. Кожний член групової ОПР оцінює переваги рішень у вигляді значень функції переваги , де i – номер члена групи, Y_j – j-е рішення з множини допустимих рішень. Ефективним рішенням, тобто оптимальним за принципом Парето, є таке рішення Y^*, що не існує рішення Y_i строго кращого, ніж Y^*, для всіх членів групової ОПР разом. Це означає, що вектор індивідуальних переваг оптимального рішення не гірший, ніж значення цього вектора для будь-якого іншого рішення. Формально це можна записати у вигляді

. (5.1)

Дана векторна нерівність виконується для будь-якого i-го номера рішення, що не збігається з оптимальним рішенням.

Відповідно до принципу Парето одне рішення має перевагу над іншим, якщо вектор, складений із значень функції переваги члена групової ОПР для одного рішення, не гірший, ніж той же вектор переваги для іншого рішення. Отже, , якщо

. (5.2)

Записане відношення є векторним відношенням "не гірше". Виконання цього векторного відношення означає, що всі члени групи оцінили рішення Y_i як не гірше від рішення Y_i і, принаймні, один член групової ОПР висловився за строгу перевагу Y_i порівняно з Y_j. Формально цю умову можна записати у вигляді нерівностей:

. (5.3)

Множина ефективних рішень визначається шляхом порівняння всіх рішень за перевагами на основі співвідношень (5.3). Ті рішення, для яких виконуються ці співвідношення, утворюють множину ефективних рішень, часто їх називають множиною Парето або множиною недомінуючих рішень. Слово "недомінуючі" безпосередньо випливає із умов (5.2), оскільки не існує кращих (домінуючих) рішень, ніж множина ефективних.

Множина ефективних рішень має такі властивості:

1. Будь-які два ефективних рішення є недомінуючими по відношенню один до одного.

2. Для будь-якого рішення, яке не належить до множини ефективних рішень, завжди знайдеться принаймні одне ефективне рішення, яке домінує над ними.

Перелічені властивості множини ефективних рішень приводять до наслідку: оптимальне рішення знаходиться серед ефективних рішень. Таким чином, визначивши множину ефективних рішень, достатньо в подальшому розглядати тільки цю множину для пошуку оптимального рішення, відкинувши всі неефективні рішення.

Слід підкреслити, що не всі ефективні рішення являються строго кращими, ніж неефективні рішення. Яке-небудь ефективне рішення може бути еквівалентним або незрівнянним із деяким неефективним рішенням. Проте відповідно до другої властивості в множині ефективних рішень знайдеться хоча б одне краще рішення для будь-якого ефективного рішення.

Існує ряд методів визначення множини ефективних рішень. Серед цих методів можна виділити метод прямого перебору і метод лінійних форм. Метод лінійних форм дозволяє зменшити обсяг обчислень порівняно з методом перебору. Метод перебору полягає в безпосередньому порівнянні переваг усіх членів групової ОПР відповідно до нерівностей (5.3). Цей метод можна застосовувати для невеликої кількості рішень і членів групової ОПР. Якщо в множині допустимих рішень міститься рішень і кількість членів групової ОПР дорівнює , то необхідно виконати порівнянь. Якщо, наприклад, =10 і =8, то необхідно порівняти 360 чисел, що практично можна здійснити тільки на ЕОМ.

Процедура визначення ефективних рішень шляхом перебору полягає в наступному. Нехай маємо m альтернативних допустимих варіантів рішень. Вибирається довільне рішення Y_i, з яким послідовно порівнюються всі інші рішення. Під час порівняння довільної пари рішень, якщо члени групової ОПР вважають, що , а хоча б один член вважає, що , то рішення Y_j не може бути ефективним, оскільки є краще рішення Y_i. Тому рішення Y_j виключають із подальшого розгляду. Якщо ж частина членів групової ОПР вважає, що , а частина, що , то рішення Y_j запам′ятовується у ролі можливого кандидата для включення до множини ефективних. Послідовно порівнюючи пари рішень і виключаючи з подальшого розгляду ті рішення, для яких існують домінуючі рішення, визначається залишкова множина недомінуючих рішень, які і є ефективними рішеннями.

Процедура визначення ефективних рішень може бути використана для виконання групування рішень, упорядкованих за відношенням повного нестрогого порядку. Дійсно, нехай маємо множину допустимих рішень і нехай у цій множині знайдено ефективні рішення. Виключимо знайдені ефективні рішення із початкової множини допустимих рішень. У підмножині рішень, що залишилася, визначимо ефективні рішення і виключимо їх із цієї підмножини. Цей процес послідовного знаходження й виключення ефективних рішень продовжується до тих пір, поки всі залишені рішення не виявляться ефективними. В результаті цієї процедури початкова множина допустимих рішень розбивається на множини, що не перетинаються, впорядковані за відношенням нестрогого порядку. Розбиття множини рішень на впорядковані за відношенням "не гірше" класи ефективних рішень дає можливість здійснити групування рішень як попередній крок у наступному строгому впорядкуванні.