51. Равновесие в защитных (максиминных) стратегиях

Этот тип равновесия реализ-ся, когда игроки либо мало знают о ф-ях выигрышах соперника и ориентируется своей ф-и выигрыша, либо стремится к так наз.гарантир-ому выигрышу, кот.способны достичь в ¥ случае, при ¥ действиях соперника. Стратегии, приносящие гарантированный результат наз.защитными (максиминными, осторожными) стратегиями.

Стратегия s^*_i наз.защитной стратегией игрока G_i, если справедливо соотношение: H_i(s^→||s_i)≥ max min H_i(s^→||s_i)

s_i€S_i {(s^→\s_i)} ,(4), где (s^→\s_i)=(s₁,…,s_i-1,s_i+1,…,s_N)-это набор всех стратегий игроков за исключением стратегии i-го игрока G_i . Гл. достоинство защитной стратегии - они сущ всегда и приносит гарантировано результат. Но часто такие стратегии излишне осторожны и могут привести к неразумным решениям.

52. Смешанные стратегии

Иногда игра склад-ся т.о., что не удается выделить ни одной равновесной ситуации ни по одному критерию.

Смешанные стратегии µ_i игрока G_i наз.распред-е вер-тей на мн-ве его чистых стратегий:

µ_i= sⁱ₁,sⁱ₂,…,sⁱ_ni ,i=1,N^¯¯

р_i1,p_i2,...,p_ini , (1) , где p_ik- это вер-ть реализации чистой стратегии sⁱ_k. Вер-ти должны удовл усл-ям: ∑ⁿⁱ_k=1 p_ik=1;p_ik≥0 ¥ i=1,N¯¯(условие нормировки), (2). ¥ чистая стратегия может интерпретироваться как частный случай смеш.стратегии, т.к.: sⁱ_k= sⁱ₁,sⁱ₂,…,sⁱ_k,..,sⁱ_ni

0, 0,…, 1,…,0

Введение смеш.стратегии вносит коррективы в описание игры. Игра, в кот.допускается применение смеш.страт.часто наз.смешанным расширением игры.

Описание смеш. расширения в норм форме.

Имеется N игроков G₁,…,G_N. У кажд.игрока G_i имеется бесконечное мн-во смеш.страт., определяемых

µ_i= sⁱ₁,sⁱ₂,…,sⁱ_ni ,i=1,N^¯¯

р_i1,p_i2,...,p_ini ,µ_i € µ_i . Игроки одновр-но и незав др.от др. выбир свои смеш.страт. В результате чего формир-ся ситуация в смеш.страт. µ^→=(µ₁,µ₂,.,µ_N), определяющая случайный механизм реализации реально сущ-щих стратегий игроков. В рез-те реализ-ся ситуация в чистой стратегии, но появл она случ образом. Выигрыши игроков при этом явл-ся так же случайными вел-нами. Поэтому при сравнении смеш.страт. и ситуации в смеш.стратегии рассм-ся средние зн-я выигрышей игроков в кажд.ситуации смеш.стратегиях (матем.ожидания выигрышей игроков). Т.о.в кач-ве выигрышей игроков ситуации µ^→ смеш.расширения игры берутся зн-я: К_l(µ^→)=∑ⁿ¹_i1=1∑ⁿ²_i2=1… ∑^nN_iN=1H_e (s¹_i1,s²_i2,…,s^N_iN) p_1i1,p_2i2,…,p_NiN ,(3).

После получения средних выигрышей (3) игра заканчив-ся. Задача игроков состоит в том, чтобы максимизировать выигрыш К_l(µ^→) ¥ G_l.

53. Домин-щие и домин-мые смеш.Страт.Равновесие в домин-щих смеш страт.

Стратегия наз. оптимальной по к.-л. критерию, если она входит в равновесную ситуацию, опред-мую данным критерием оптим-ти.Критерии оптим-ти смеш страт сов-но аналогич критериям для чистых стратегий,но при сравнении смеш. стратегий или ситуаций в см. стратегиях м/у собой сравн-ся сред. выигрыши игроков в этих ситуациях,опред по ф-ле К_l(µ^→)=∑ⁿ¹_i1=1∑ⁿ²_i2=1… ∑^nN_iN=1H_e (s¹_i1,s²_i2,…,s^N_iN) p_1i1,p_2i2,…,p_NiN.

Следуя принципу рац-ти, 1ым шагом при попытке реш. игры д.б выявление всех домин-щих и домин-мых стратегий. Пусть s^→ = (s₁, …, s_i-1, s_i, s_i+1, …, s_N) – произвольная ситуация в игре, где s_i, i=1,N – чистая стратегия i-ого игрока G_i Обозн ч/з (s^→//s_i^′) ситуацию, кот. Отлич-ся от s^→ тем, что в ней только игрок G_i и только он один заменяет свою стратегию s_i на стратегию s_i^′. А все др. игроки остаются при тех же стратегиях, что и в ситуации s^→, т.е. отклоняется один игрок G_i. Очевидно: (s^→//s_i) = s^→

Стратегия s_i^′ игрока G_i наз. домин-мой стратегией этого игрока , если у него сущ-ет др. стратегия s_i^′′ такая, что ¥ s^→ H_i (s^→//s_i^′) < H_i (s^→//s_i^′′),(1), где H_i(s^→) – ф-ция выигрыша игрока G_i в ситуации s^→.

Говорят, что стратегия s_i^′′доминирует стратегию s_i^′ (пишут: s_i^′′ >s_i^′)

Стратегия s_i^* игрока G_i наз. домин-щей стратегией этого игрока, если ¥ s^→ справедливо:H_i (s^→) < H_i(s^→//s_i^*),(2), кроме s^→ = (s^→//s_i^*).

Никакой рацион. игрок не будет исп-ть домин-мые стратегии, а будет стремиться к домин-щим. Если у кажд. игрока найдётся домин-щая стратегия, то тогда ситуация, опред-мая такими стратегиями, наз. ситуацией равновесия в домин-щих стратегиях. Это очень хорошая устойчивая ситуация, несомненное реш. игры. Нед-ком критерия оптим-сти в домин-щих стратегиях явл. то, что на практике такие равновесия встречаются очень редко.

Особую роль в практич. приложениях играют равновесия Нэша и равновесия в защитных см. стратегиях, поскольку они наиб. часто реализ-ся на практике.

54. Равновесие Нэша в см. стратегиях.

Ситуация µ^*→ = (µ^*₁, µ^*₂,…, µ^*_N) в см. стратегиях наз. равновесием Нэша, если справ-во: K_l (µ^*→) ≥ K_l (µ^*→//µ_l) ¥ G_l € {G}, (10).Смешанная теорема Нэша.

Если равновесная по Нэшу см. стратегия µ_l^* игрока G_l входит в равновесие Нэша µ^*→ в см. стратегиях и приписывает положит. Вер-ть реализ. чистой стратегии S_l игрока G_l, то тогда справ-во: K_l (µ^*→//µ_l^*) = K_l (µ^*→// s_l) = K_l (µ^*→), (2). Соотнош. играет важную роль в опр-ии оптим. см. стратегий по Нэшу.