Вариант 3
Задача 1. Из колоды в 36 карт наугад взяли 6 карт. Найти вероятность того, что из них в точности два туза и в точности 4 карты – пики.
Задача 2. На участке высажено 20 растений ранней капусты, 100 – помидоров и 50 – перца. В результате ночных заморозков гибнет 5% рассады капусты, 30% помидоров и 80% перца. Найти вероятность того, что наугад выбранное растение окажется неповрежденным.
Задача 3. Дана плотность распределения р(х) непрерывной случайной величины . Найти: а) параметр с;
б) математическое ожидание М;
в) дисперсию D; среднеквадратическое отклонение ;
г) функцию распределения F(х); построить ее график;
д) вероятность попадания в промежуток [a; b) P{a < b}.
Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р(х), функцию распределения F(x), построить ее графики. Найти P{c1 < < c2}.
М = 2, D = 3, с1 = 3, с2 = 5.
Задача 5. Для схемы Бернулли (n – число испытаний, р – вероятность успеха в одном испытании) определить вероятность осуществления события {k1<k<k2}, где k – количество успехов, пользуясь теоремой Муавра – Лапласа:
n = 200, p = 1/3, k1 = 50, k2 = 75.
Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f(x), f(y) и коэффициент корреляции.
Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дискретный вариационный ряд (xi – элементы выборки, ni – частоты).
1. Найти объем выборки и ее размах.
2.Составить интервальный вариационный ряд.
3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).
5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1- .
6. С помощью критерия 2 проверить при уровне значимости 1 гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности.
xi |
8,2 |
8,4 |
8,8 |
9,4 |
9,8 |
10,4 |
10,8 |
11,2 |
= 0,05 |
ni |
3 |
2 |
2 |
7 |
5 |
4 |
3 |
3 |
1 = 0,1 |
Вариант 4
Задача 1. Прибор работает безотказно в течение суток с вероятностью 0,9. Для повышения надежности он дублируется точно таким же. Найти вероятность безотказной работы этой системы в двух случаях: а) при отказе основного обязательно включается дублер; б) дублер включается, но не с полной достоверностью: надежность переключающего устройства равна 0,8.
Задача 2. В корзине было 10 белых грибов, 20 лисичек, 20 подосиновиков и 30 подберезовиков. Среди белых грибов червивые встречаются в 40% случаев, среди подосиновиков – в 10%, подберезовиков – 50%, среди лисичек червивых не бывает. Найти вероятность того, что взятый наугад гриб окажется нечервивым.
Задача 3. Дана плотность распределения р(х) непрерывной случайной величины . Найти: а) параметр с;
б) математическое ожидание М;
в) дисперсию D; среднеквадратическое отклонение ;
г) функцию распределения F(х); построить ее график;
д) вероятность попадания в промежуток [a; b) P{a < b}.
Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р(х), функцию распределения F(x), построить ее графики. Найти P{c1 < < c2}.
М = 3, k1 = 2, k2 = 5.
Задача 5. Для схемы Бернулли (n – число испытаний, р – вероятность успеха в одном испытании) определить вероятность осуществления события {k1<k<k2}, где k – количество успехов, пользуясь теоремой Муавра – Лапласа: n = 1800, p = 1/3, k1 = 580, k2 = 650.
Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f(x), f(y) и коэффициент корреляции.
Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дискретный вариационный ряд (xi – элементы выборки, ni – частоты).
1. Найти объем выборки и ее размах.
2.Составить интервальный вариационный ряд.
3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).
5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1- .
6. С помощью критерия 2 проверить при уровне значимости 1 гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности.
xi |
8 |
8,6 |
8,8 |
9,2 |
9,8 |
10,2 |
10,8 |
11 |
= 0,2 |
ni |
2 |
3 |
2 |
6 |
7 |
5 |
2 |
3 |
1 = 0,01 |