Вариант 21

Задача 1. Четыре точки поставлены наугад в квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1). Найти вероятность того, что только координаты первой точки удовлетворяют условию x² + y²  2x.

Задача 2. По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность по­падания при первом выстреле равна 0,2, при втором – 0,4, при третьем – 0,5. При трех попаданиях самолет выйдет из строя навер­няка, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6, при одном попада­нии – 0,2. Найти вероятность выхода самолета из строя.

Задача 3. Дана функция распределения F_(х) случайной величины . Найти плотность р_(х), коэффициент с, М, D, , вероятность попадания  в промежуток [a; b).

Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р_(х), функцию распре­деления F(x), построить ее графики. Найти P{c₁ <  < c₂}.

М = 3, D = 3, с₁ = 0, с₂ = 5.

Задача 5. Пользуясь предельной теоремой Пуассона, найти вероятности собы­тий: {kk₁}, { k₂  k  k₃}, где k – число успехов в n независимых испыта­ниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р.

n = 1000; р = 0,003; k₁ = 3; k₂ = 1; k₃ = 5.

Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f_(x), f_(y) и коэффициент корреляции.

Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дис­кретный вариационный ряд (x_i – элементы выборки, n_i – частоты).

1. Найти объем выборки и ее размах.

2.Составить интервальный вариационный ряд.

3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределе­ния.

4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).

5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормаль­ному закону, найти доверительные интервалы для математиче­ского ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1 - .

6. С помощью критерия ² проверить при уровне значимости ₁ ги­потезу про нормальное распределение генеральной совокупности.

xi	8,3	8,7	8,9	9,3	9,5	9,9	10,3	10,5	 = 0,2
ni	2	5	4	6	6	3	2	2	1 = 0,01

Вариант 22

Задача 1.Для того, чтобы при разрыве снаряда на расстоянии R от самолета самолет оказался выведенным из строя, нужно поразить либо лет­чика, либо оба двигателя. Пусть вероятность поражения летчика равна 0,3, а вероятность поражения каждого из двигателей равна 0,2. Найти вероятность гибели самолета.

Задача 2. Батарея производит 4 независимых выстрела по самолету. Вероят­ность попадания при одном выстреле равна 0,3. Самолет выходит из строя при одном попадании с вероятностью 0,6 и с вероятностью 1 при двух и более попаданиях. Найти вероятность выхода самолета из строя.

Задача 3. Дана функция распределения F_(х) случайной величины . Найти плотность р_(х), коэффициент с, М, D, , вероятность попадания  в промежуток [a; b).

Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р_(х), функцию распре­деления F(x), построить ее графики. Найти P{c₁ <  < c₂}.

М = 3, D = 12, с₁ = 5, с₂ = 10.

Задача 5. Пользуясь предельной теоремой Пуассона, найти вероятности собы­тий: {kk₁}, { k₂  k  k₃}, где k – число успехов в n независимых испыта­ниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р.

n = 1000; р = 0,004; k₁ = 3; k₂ = 1; k₃ = 5.

Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f_(x), f_(y) и коэффициент корреляции.

Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дис­кретный вариационный ряд (x_i – элементы выборки, n_i – частоты).

1. Найти объем выборки и ее размах.

2.Составить интервальный вариационный ряд.

3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределе­ния.

4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).

5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормаль­ному закону, найти доверительные интервалы для математиче­ского ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1 - .

6. С помощью критерия ² проверить при уровне значимости ₁ ги­потезу про нормальное распределение генеральной совокупности.

xi	9,3	9,7	9,9	10,5	10,9	11,5	11,9	12,3	 = 0,2
ni	3	5	2	5	6	4	3	2	1 = 0,01