36.Сформулируйте условие Парето-оптимальности

Ключевую роль в многокритериальной оптимизации играет понятие парето-оптимального решения. Решение х^* X называют парето-оптимальным (оптимальным по Парето, эффективным или неулучшаемым), если не существует другого возможного решения x X, такого, что f_i(х) f_i(х^*) для всех номеров i = 1, 2,...,т, причем по крайней мере для одного номера j (1, 2,..., т) имеет место строгое неравенство f_j(х)≥f_j(х*). Другими словами, парето-оптимальное решение не может быть улучшено (в данном случае - увеличено) ни по какому критерию (ни по какой группе критериев) при условии сохранения значений по всем остальным критериям. Множество всех парето-оптимальных решений часто обозначают P_f(X) и называют множеством Парето {множеством Эджворта-Парето) или областью компромиссов.

Заметим, что в частном случае, когда критерий всего один, т.е. т = 1, определение парето-оптимального решения превращается в определение точки максимума функции f, на множестве X. Это означает, что парето-оптимальное решение представляет собой обобщение обычной точки максимума числовой функции.

Если каждый критерий f_i трактовать как функцию полезности i-го участника экономики, то к понятию парето-оптимального решения приводит воплощение идеи социальной справедливости, состоящей в том, что для коллектива всех участников более выгод­ным будет только то решение, которое не ущемляет интересы ни одного из них в отдель­ности. При этом при переходе от одного парето-оптимального решения к другому если и происходит улучшение (увеличение) одного из критериев, то обязательно это улучшение будет сопровождаться ухудшением (уменьшением) какого-то другого критерия (или сразу нескольких критериев). Таким образом, переход от одного парето-оптимального решения к другому невозможен без определенного компромисса. Отсюда и наименование множества Парето - область компромиссов.

При анализе и решении многокритериальных задач обычно считают выполненной так называемую аксиому Парето, согласно которой в случае выполнения неравенств

f_i (x’)≥ f_i (x’’) для всех номеров i = 1, 2,...,т, где по крайней мере для одного номера

j (1,2,...,т} имеет место строгое неравенство f_i (x’)>f_i (x’’), ЛПР из двух данных возможных решений х' и х" всегда отдает предпочтение первому из них.

Аксиома Парето фиксирует стремление ЛПР получить максимально возможные значения по всем имеющимся критериям. Кроме того, она показывает, что из пары произвольных решений, то из них, которое не яв-ся в этой паре парето-оптимальным, из указанной пары никогда выбирать не следует. Так как решения, которые не выбираются из пары, разумно не выбирать и из всего множества возможных решений, то в итоге приходим к так называемому принципу Парето (принципу Эджворта-Парето), в соответствии с которым выбирать (наилучшие) решения следует только среди парето-оптимальных.

38.Опишите алгоритм поиска решений методом анализа иерархий

Рассмотрим пример.

Пусть, известно, что для разработки некоторого нефтяного ме­сторождения в результате анализа его геолого-геофизических и геолого-гидродинамических характеристиках определено три благопри­ятных технологических варианта разработки: законтурное заводне­ние (D1), циклическое заводнение (D2), циклическое заводнение в сочетании паротепловой обработкой скважин на всех объектах раз­работки (D3).

Предположим, что из множества показателей эффективности разработки месторождений нефти и газа руководитель выбрал следующие показатели (критерии):

В1. Экономические показатели С1. Чистый дисконтированный доход. С2. Внутренняя норма рентабельности . СЗ. Срок окупаемости С4. Индекс доходности. B2. Риски. С5. Оправданность выбора технических решений (систем (вариантов) разработки). Сб. Надежность контроля за выработкой запасов . С7. Экономический риск. B3. Охрана окружающей среды и недр . С8. Загрязнение воздуха и воды. С9. Сохранность флоры и фауны.

Руководителю необходимо выбрать лучший вариант разработки, с учетом этого набора этих показателей эффективности.

Для поставленной задачи можно построить следующую иерархию (рис. 7.3).

Комплексная эффективность разработки месторождения

Виды критериев

Критерии

Варианты разработки

Р ис. 7.3

Здесь буквами В обозначены виды критериев (показателей) эф­фективности разработки месторождений, буквы С обозначают кон­кретные критерии, буквы D — варианты разработки.

Пусть матрицы парных сравнений (суждений или приоритетов) оказались следующими (табл. 7.11 и 7.12):

Сумма всех элементов матрицы равна 11,33; П - вектор приори­тетов.

λ_max = (1+0.5+0.33)0.53+(2+1+0.5)0.31+(3+2+1)0.15=2.955 и

ИС= -0.0025, то есть эта матрица яв-ся согласованной. Заме­тим, что отрицательное значение ИС получается в данном случае в силу приближенности алгоритма вычислений.

1-й уровень

Таблица 7.11

А	АВ1	АВ2	АВЗ	£ по строке	П
АВ1	1	2	3	6	6/11,33 = 0,53
АВ2	1/2	1	2	3,5	0,31
АВЗ	1/3	1/2	1	1,83	0,15

2-й уровень

Таблица 7.12

B1	В1С1	В1С2		В1СЗ			В1С4	Σ по строке			П
В1С1	1	1		4			5	11			0,38
В1С2	1	1		4			5	11			0,38
В1СЗ	1/4	1/4		1			4	5,5			0,19
В1С4	1/5	1/5		1/4			1	1,65			0,05
В2	В2С5	В2С6			В2С7		Σ по строке			П
В2С5	1	4			2		7			0,61
В2С6	1/4	1			1		2,25			0,19
В2С7	1/2	1			1		2,5			0,2
B3	ВЗС8		ВЗС9			Z по строке			П
ВЗС8	1		4			5			0,8
ВЗС9	1/4		1			1,25			0,2

В общей матрице приоритетов второго уровня иерархии (7.10) будет столько столбцов, сколько элементов на предыдущем уровне (в данном случае 3), а строк будет столько, сколько элементов на ниж­нем уровне (т.е. 9). Эта матрица справа умножается на вектор при­оритетов видов критериев: ||П(A,B_{i ,}C_i)||=

0,38

0,38

0,19

0,05

0,61

0,19

0,2

0,8

0,2

*0,53

0,31

0,15

Вектор приоритетов критериев с учетом приоритета видов кри­териев по отношению к глобальному критерию будет равен: П (ABi Ci) = [0,2 0,2 0,1 0,03 0,19 0,06 0,07 0,12 0,03] После этого шага составляется 9 матриц сужений (по числу кри­териев) приоритетов вариантов разработки месторождений (табл. 7.13):

3-й уровень иерархии

Д алее из девяти полученных СППР векторов столбцов приоритетов ею формируется матрица приоритетов третьего уровня иерархии, которая умножается на вектор приоритетов полученный на предыдущем шаге и получается вектор приоритетов вариантов разработки месторождения.

В заключение следует сказать, что если эксперту или руководителю удалось свести задачу выбора лучшего решения к иерархической, то вполне можно использовать метод, описанный в настоящем разделе. Хотя класс задач, сводящихся к методам анализа иерархий достаточно широк (задачи выбора учебного заведения, оценки национального богатства страны, размещения ресурсов и т.п.) существует много проблем, не решаемых этим методом.

Это главным образом задачи, в которых необходимо учитывать взаимную зависимость (взаимное влияние) результирующих факторов друг на друга. В нашем случае это взаимное влияние результатов разработки.