26.Сформулируйте принципы постановки двойственных задач линейного программирования

Двойственная задача в линейном программировании строится по формальным правилам на базе другой задачи линейного программирования, называемой основной.

Например, если основная задача имеет вид

Ах ≤b , х≥0, f(с,х) → max, (11.1)

то двойственная к ней задача также яв-ся задачей линейного программирования:

А^Ту≥ с, у≤0, f(b, у)→ min. (11.2)

Здесь х = (x₁,х₂,... ,х_n); b = (b₁, b₂,…,b_т); с = (с₁, с₂,..., с_n); у = (y₁,y₂,... ,у_m);

f(c,x)= (11.3)

(b,y)= транспонированная матрица A.

Основная и двойственная к ней задачи образуют пару взаимно двойственных задач: двойственная задача к двойственной оказывается основной задачей.

Отношение между прямой и двойственной задачами находи выражение в виде следующих правил:

1. если прямая задача яв-ся задачей максимизации, то двойственная задача будет задачей минимизации и наоборот;

2. коэффициенты целевой функции прямой задачи с = (с₁, с₂,..., с_n) становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;

3. свободные члены ограничения прямой задачи b = (b₁, b₂,…,b_т) становятся свободными членами целевой функции двойственной задачи;

4. матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничения прямой задачи;

5. знаки неравенств в ограничениях изменяются на обратные;

6. число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

Основная теорема двойственности:

Либо обе задачи двойственной пары разрешимы, и тогда (с, х*) = (b, у*), либо обе задачи не имеют решения. Здесь х*,у* - оптимальные планы пары двойственных задач.

Эта и ряд других теорем, относящихся к двойственным задачам, играют важную роль при качественном анализе задач линейного программирования.

Содержательный анализ двойственной задачи, в том числе и неизвестных у₁ у₂, ... , у_m, полностью определяется содержательным смыслом прямой задачи.

Так, например, если основная задача (11.1) яв-ся задачей производственного планирования, где А - технологическая матрица, b_i - количество i-го ресурса, x_j - объем выпуска j-го продукта, i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, ... n, то целью решения двойственной задачи (11.2) оказывается нахождение так называемых двойственных оценок ресурсов y_i, которые также называют маргинальными (предельными) данными ресурсов.

Маргинальные цены, очевидно, связаны только с производством и потому отличаются от обычных рыночных цен на ресурсы.

Если маргинальные цены не превосходят рыночных (у_i*≤ q_i, i=1,2,..., m), то производство, для которого они были рассчитаны, не сможет получить прибыль р от своей производственной деятельности: для любого плана выпуска x.

р(х) = (с, х) - (b, q) ≤, (с, х*) - (b, q) ≤ (с, х*) - (b. у*) = 0.

И, наоборот, если у_i* > q_i, i= 1, 2,..., т, то реализация оптимального производственного плана х* принесет положительную прибыль.

р(х*) = (с, х*) - (b, q) = (А, у*) - (b, q) = (b, y*-q)> 0,

размер которой ограничивается: а) средствами, выделяемым на закупку ресурсов; b) объемом рынка ресурсов; с) технологическими условиями производства.

Из теоремы двойственности вытекает ряд положений, которые позволяют устанавливать некоторые соотношения между целевой функцией и ресурсами, необходимыми для достижения цели.

В частности, следующее важное утверждение:

Если задача линейного программирования не вырождена и С(х*) представляет собой максимум ее линейной формы при заданных ограничениях, то дс(х*)/дb_i = у_i*, i = 1,2,..., т.

Таким образом, с математической точки зрения оптимальные оценки определяют влияние свободных членов b, условий-ограничений на оптимальную величину целевой функции. Иными словами, вычисление наряду с оптимальным планом х* = (х₁*, х₂*, ... , х_n*) связанных с ним оптимальных оценок у* = {у₁*, у₂*, ... , y_т*) позволяет ввести относительную важность отдельных ресурсов (b₁*, b₂*.....b_m*) для достижения поставленной цели (максимизации ).

На основе установления такой взаимосвязи между х* и у* можно исследовать влияние небольших отклонений ресурсов на изменение оптимального значения целевой функции, получать маргинальные оценки, идея которых рассмотрена выше), получать другие рекомендации, полезные при разработке и корректировке планов в тех случаях, когда не может быть найдено строгое решение задачи оптимизации.

Идеи теории двойственности находят важное применение в разработке численных методов линейного программирования, позволяющих решать задачи с неопределенностью, не имеющие строгого оптимума, что имеет особое значения для задач системного анализа.

29.Приведите содержательные постановки задач, приводящие к моделям дискретного программирования

30.Дайте общую математическую формулировку задач дискретного программирования

Математические модели задач дискретного программирования. По структуре математической модели задачи дискретного программирования разделяют на следующие классы:

1) задачи с неделимостями;

2) экстремальные комбинаторные задачи;

3) задачи на несвязных и на невыпуклых плоскостях;

4) задачи с разрывными целевыми функциями.

Рассмотрим существо некоторых из них.

Задачи с неделимостями. Математические модели задач с неделимостями основаны на требовании целочисленности переменных {x_i}, вытекающем из физических условий практических задач.

К таким задачам относится задача об определении оптимальной структуры производственной программы, где {х_1, х₂,..., х_п} - объемы выпуска продукции.

Эта задача заключается в отыскании

(10.13) при (10.14)

(10.15)

Если J =N = (1,2,..., n), то задача называется полностью целочисленной, в противном случае, если J≠N - частично целочисленной.

Задача о ранце. Одной из наиболее распространенных задач целочисленного программирования яв-ся так называемая задача о ранце.

Рассмотрим постановку данной задачи. Турист готовится к длительному переходу в горах. В рюкзаке он может нести груз, масса которого не более W. Этот груз может включать в себя п видов предметов, каждый предмет типа j, массой w_j ,j= 1,2,..., n. Для каждого вида предмета турист определяет его ценность E_j во время перехода. Задача заключается в определении количества предметов каждого типа, которые он должен положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность снаряжения была максимальной.

Обозначим через х_j количество предметов j-го типа в рюкзаке.

Тогда математическая модель задачи такова:

(10.16)

при ограничениях

x_j -целое, i= 1,2,..., т. (10.17)

Экстремальные комбинаторные задачи. В данных задачах необходимо найти экстремум некоторой целевой функции, заданной на конечном множестве, элементами которого служат перестановки из n символов (объектов).

Одной из наиболее простых задач этого класса яв-ся задача о назначениях: найти такую перестановку (р₁,р₂,..., р_n) из чисел 1,2,3,...,n,

при которой обеспечен по всем перестановкам (р₁,р₂,..., р_n). Каждая такая перестановка может быть представлена точкой в п²- мерном евклидовом пространстве или в виде матрицы Х^п

Вводим переменные:

Х_ij = 1, если i-и механизм предназначен для j-й работы; х_ij = 0 — в противном случае.

Очевидно, что должно выполняться условие

(10.18)

Данные ограничения означают, что один механизм может быть предназначен для выполнения только одной работы. Тогда задача будет состоять в определении таких чисел {х_ij}, при которых достигается минимум функционала min при ограничениях (10.18).

Задача о коммивояжере. Имеется (n + 1) город. Задана матрица

С = ||c_ij || расстояний между городами. Выезжая из исходного города A_{ij ,} коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в город А_ij. Требуется определить, в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было минимально.

Введем переменные:

X_ij — 1, если коммивояжер переезжает из населенного пункта А, в А_j; х_ij - 0 - в противном случае.

Математическая модель задачи имеет следующий вид: найти

(10.19)

при условиях ; (10.20)

; (10.21)

, (10.22)

где u_i, u_j - произвольные целые и неотрицательные числа.

Условие (10.20) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города один раз, а условие (10.21)- что он въезжает один раз в каждый город.

Если ограничить задачу только условиями (10.20) и (10.21), она будет эквивалентна задаче о назначениях, план которой не обязан быть цикличным. Иначе говоря, путь коммивояжера при этом можно представить как рад несвязанных подциклов, в то время как его путь в действительности состоит из одного цикла.

Покажем, что для любого цикла, начинающегося в A_ij можно найти u_i удовлетворяющие условию (10.22). Пусть u_i =p, если коммивояжер посещает город А_i на р-м этапе. Отсюда следует, что

u_i- и_j ≤ п - 1 для всех i и j, и, таким образом, условие (10.22) выполняется при x_ij = 0.

При х_ij = 1 условие (10.22) выполняется как строгое равенство:

u_i-u_j+nx_ij=p-(p+1)+n = n-1.