24.Рассмотрите пример графического решения задачи линейного программирования

Простые ЗЛП допускают геометрическую интерпретацию, позволяющую непосредственно из графика получить решение и проиллюстрировать идею решения более сложных задач линейного программирования.

Постановка данной задачи выглядит следующим образом.

Имеется множество переменных X = (x₁, х₂,..., х_n). Целевая функция линейно зависит от управляемых параметров:

(8.1)

Имеются ограничения, которые представляют собой линейные формы

где . (8.2)

Графическое решение задачи приведено на рисунке 8.1.

О граничения здесь задают область допустимых решений в форме (заштрихованного) четырехугольника, а семейство (пунктирных) прямых, представляет собой линии уровня целевой функции F .

Существует два крайних положения линии уровня, когда она «касается» допустимого множества. Этим двум положениям в данном случае соответствуют две точки «касания» -начало координат (0, 0) и точка (9, 13). Первая из этих точек - точка минимума, а вторая - максимума данной функции F вида (1) на допустимом множестве (2).

В случае большего числа разнородных ограничений графическая интерпретация задачи затруднена, поэтому задачу представляют в математической форме и используются специальные методы.

25.Рассмотрите пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом

Рассмотрим задачу линейного программирования в следующем виде: найти максимум линейной формы 4х₁ + 3х₂ при ограничениях

x₁ ≤;4000, х₂ ≤; 6000, х₁ +2/3х₂≤6000, х₁,х2 > 0.

Каноническая форма задачи линейного программирования будет иметь вид

4x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ → max;

1х₁ + 0х ₂ + 1х₃ + 0x₄ + 0x₅, = 4000; 0х₁ + 1х ₂ + 0х₃ + 1x₄ + 0x₅, = 6000;

1х₁ + 2/3х₂ + 0х₃ + 0x₄ + 1x₅ = 6000; 1х₁+2/3 х₂+ 0х₃ + 0x₄ + 1x₅ =6000.

Составим исходную симплекс-таблицу (табл. 10.2).

Таблица 10.2

С			4	3	0	0	0
	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
0	хз	4000	1	0	1	0	0
0	x4	6000	0	1	0	1	0
0	x5	6000	1	2/3	0	0	1
		0	-4	-3	0	0	0

Поскольку -4 < -3 < 0, то в качестве направляющего выбираем первый столбец. Составив отношение вида , определяем направляющую строку. Для этого находим минимальное отношение

min Следовательно, направляющая строка - первая, направляющий элемент — а₁₁=1- Применив первый шаг симплексного преобразования, получим новую таблицу (табл. 10.3).

Таблица 10.3

С			4	3	0	0	0
	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
4	x1	4000	1	0	1	0	0
0	x4	6000	0	1	0	1	0
0	x5	2000	1	2/3	-1	0	1
		0	0	-3	4	0	0

На данном этапе в качестве направляющего столбца выбираем второй, направляющая строка - третья, т.к. 2000/(2/3)<6000/1<4000/1 Применим следующий шаг симплексного преобразования. В результате получим

Табл. 10.4.

С			4	3	0	0	0
	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
4	x1	4000	1	0	1	0	0
0	x4	3000	0	1	3/2	1	-3/2
3	X2	3000	1	2/3	-3/2	0	3/2
		25000	0	0	-1/2	0	9/2

Так как а₀₃ = -1/2 < 0, то направляющий столбец А₃ направляющая строка- вторая, направляющий элемент а₂₃=3/2 • Выполним очередной шаг преобразования, получим еще одну таблицу (табл. 10.5).

Поскольку в индексной строке все элементы положительны, это означает, что найдено оптимальное решение х₁₀= 2000, х₂₀ = 6000, х₃₀ = 2000. Искомое значение целевой функции равно 4 х₁ + Зх₂= 26000.

Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему.

1.     В последней строке симплекс-таблицы находят наименьший положительный элемент, не считая свободного члена. Столбец, соответствующий этому элементу, считается разрешающим.

2.     Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3.     На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.

4.     Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симплекс-таблицы.

5.     После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной и наоборот. Симплекс-таблица преобразована следующим образом (табл. 10.4):

17.     Элемент табл. 10.4, соответствующий разрешающему элементу табл. 10.3, равен обратной величине разрешающего элемента.

7.     Элементы строки табл. 10.4, соответствующие элементам разрешающей строки табл. 10.3, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 10.3 на разрешающий элемент,

8.     Элементы столбца табл. 10.4, соответствующие элементам разрешающего столбца табл. 10.3, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 10.3 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.

9.     Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл. 10.3, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом, а другая - с элементом, образ которого мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый элемент из табл. 10.4 будет равен соответствующему элементу табл. 10.3 минус дробь, в знаменателе которой стоит разрешающий элемент, а в числителе - произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.

10. Как только получится таблица, в которой в последней строке все элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае равны нулю.

11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

21.Приведите классификацию моделей математического программирования

Методы матем.прогр-ния представляют собой класс моделей, применяемых для формализации задач планирования целенаправ-ой деят-ти, предусматрив-их распред-ие огранич-го количества ресурсов разных видов.

Одним из направлений мат/ого программирования яв-ся линейное программирование, в к/ом ярко прояв-ся специфические трудности нахождения экстремума на границе допустимой области переменных. В отличие от линейного программирования теория экстремальных задач, в к/ой целевая ф/я и/или ф/и, задающие ограничения, не линейны, называется нелинейным программированием. В частности, таковым яв-ся квадратичное программирование, в к/ом изучается задача нахождения экстремума квадратичной ф/и при линейных ограничениях типа равенств и/или неравенств. Линейное программирование первоначально развивалось как направление, разрабатывающее новые подходы к решению задач минимизации выпуклых ф/й, т. е. в рамках выпуклого программирования. Выпуклое программирование посвящено нахождению экстремума выпуклой целевой ф/и на выпуклом множ/ве, обычно задаваемом в виде с/мы выпуклых неравенств. Класс задач оптимизации, в к/ых область определения переменных состоит из отдельных изолированных точек, составляет предмет изучения дискретного программирования. Широкий класс нелинейных и дискретных задач может решаться с использованием идеи рекуррентного подхода (методов типа мат/ой индукции), являющихся основой динамического программирования, идея к/ого первоначально была предложена Р. Беллманом. Для решения задач оптимизации со случайными параметрами разработано стохастическое программирование .К мат/ому программированию относят также бесконечномерное программирование, в рамках к/ого предложены методы решения экстремальных задач с бесконечным числом переменных (например, такие, в к/ых набором переменных яв-ся ф/и или набор ф/й) и минимизируется (максимизируется) ф/онал. Развиты также методы решения задач оптимизации, в к/ых переменная принимает только два значения «истинно» - «ложно» или «да» — «нет». Такие методы относят к булевому программированию. Методы мат/ого программирования находят свое применение в самых различных областях техники и экономики.

В настоящее время экономическую теорию невозможно представить без экономико-мат/их методов, основанных на результатах мат/ого программирования. Здесь достаточно упомянуть модели календарного планирования или упорядочения во времени, расписания, потоковые или транспортные модели; модели распределения и назначе­ния; модели износа и замены оборудования.

Методы математического программирования находят свое применение в самых различных областях техники и экономики.