Метод ветвей и границ для задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим частично целочисленную задачу ЛП:

минимизировать

(10.23)

при условиях

; (10.24)

; (10.25)

- целые числа. (10.26)

Процесс поиска оптимального решения начинают с решения непрерывной задачи ЛП. Если полученный при этом оптимальный план не удовлетворяет условию (10.26), то значение целевой функции дает нижнюю оценку для искомого решения, т.е. .

27.Опишите процесс решения задач линейного программирования с использованием программного обеспечения matlab

В состав MATLAB входит Optimization Toolbox, предназначенный для решения линейных и нелинейных оптимизационных задач.

Задача линейного программирования состоит в нахождении вектора x, который минимизирует целевую линейную функцию

f^Tx при условии AX≤B ; X≥0,

где с=(с₁, c₂,…,c_n) представляет собой n-мерный вектор, соствленный из коэффициентов целевой функции, причем c^T – транспонированная вектор- строка; x=(x₁ . x_n) – n –мерный вектор переменных решений,

B=[b₁

b₂ m-мерный вектор свободных членов

b_m]

B_eq=[b_eq1

_…

b_eqr] ограничения в виде равенств;

двусторонние покомпонентные ограничения в векторной форме

lb≤x≤ub

A=

Пример: задача состваления рациона питания

Имеются 3 продукта П₁, П₂ и П₃ разной цены, каждый из которых содержит определенное количество питательных ингридиентов И₁, И₂, И₃, И_4.

Известно, что в день требуется : И₁не менее 250, И₂ не менее 60, И₃ не менее 100 и И₄ не менее 220. Требуется минимизировать затраты на приобретение продуктов. Очевидно, что количество приобретаемых процессов не может быть отрицательным..

Записываем целевую функцию, матрицу A, векторы b и lb в соответствии с требованиями Toolbox, обозначив искомые количества продуктов через x_1, x₂ и x₃ соответственно. Поскольку линейные ограничения содержат «меньшк или равно», а количество ингредиентов в рационе не может быть менее заданных величин, то следует изменить знаки обеих частей системы.При вызове программы linprog вместо неиспользуемых ограничение (нет ограничений в виде равенств) задайте пустые массивы, обозначаемые в MATLAB пустыми скобками.

Программа ration

% задание матрицы и вектора правой части системы неравенств

A=[4 6 15

2 2 0

5 3 4

7 3 12]

A=-A; b=[250 60 100 220]; b=-b;

% Определение коэффициентов целеой функции f=[44; 35; 100];

% Задание ограничений снизу на переменные lb=[0; 0; 0];

% решение и вывод результата в командное окно x=linprog(f,A,b,[],[],lb)

31.Опишите алгоритм решения задач дискретного программирования методом ветвей и границ

Метод ветвей и границ для задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим частично целочисленную задачу ЛП:

минимизировать

(10.23) при условиях

(10.24) ; (10.25)

- целые числа. (10.26)

Процесс поиска оптимального решения начинают с решения непрерывной задачи ЛП. Если полученный при этом оптимальный план не удовлетворяет условию (10.26), то значение целевой функции дает нижнюю оценку для искомого решения, т.е. . Пусть некоторая переменная х_i0 (1≤ i₀ ≤ т) не получила в плане целочисленного решения. В целочисленном плане значение х_i0 следует либо уменьшить, по крайней мере до [х_i0], либо увеличить, по крайней мере до [х_i0]+ 1. Если границы изменения х_i0 заранее не заданы, то их можно вычислить, решив для этого две вспомогательные задачи ЛП. Эти задачи состоят в максимизации и минимизации х_i0 при условиях (10.24) и (10,25).

Теперь для каждого фиксированного целочисленного значения х_i0 в найденном отрезке [х_i0min, х_i0max] находят min z, решая задачу ЛП с ограничениями (10.24), (10.25) и с дополнительным ограничением х_i0≤k_i0..

Таким образом, все указанные выше возможности можно представить в виде некоторого дерева, в котором вершина 0 отвечает плану , а каждая из соединенных с ней вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи: минимизировать z при условиях (10.24), (10.25) и дополнительном условии, что переменной х_i0 дано значение х_i0 ≤ к_i0, где к_io - целое число. Каждой из таких вершин приписывают оценку , которая равна min z при указанных выше ограничениях. Очевидно, , для всех k. Если оптимальные планы полученных задач удовлетворяют условиям целочисленности, то план с минимальной оценкой и будет оптимальным планом исходной задачи. В противном случае возникает необходимость в продолжении ветвления. При этом каждый раз для очередного ветвления выбирают вершину с наименьшей оценкой. Любой маршрут в дереве от начальной вершины 0 до некоторой вершины определяет допустимую последовательность выбора целочисленных решений для переменных. Процесс продолжают до тех пор, пока продолжение ветвления становится невозможным. Каждая конечная вершина отвечает некоторому допустимому целочисленному плану. Вершина с минимальной оценкой дает оптимальный план. Рассмотрим алгоритм решения задачи целочисленного программирования.

На первом этапе необходимо задать множество G⁽⁰⁾, определяемое условиями (10,24), (10.25). На втором этапе формируются множества задаваемые условиями (10.24), (10.25) и дополнительным условием x_j≤[x_j0] или x_j≥[ x_j0] +1 (10.27) где [x_j0] - целая часть х_j0. На третьем этапе осуществляется вычисление оценок. Для множества G⁽⁰⁾ оценку определяют как =f( ), где - оптимальный план непрерывной задачи ЛП. Для множества оценку определяют аналогично: ,где -оптимальный план задачи с условиями (10.24), (10.25) и с дополнительным условием (10.27). Если множество оказывается пустым, ему приписывают оценку =∞. На четвертом этапе осуществляется нахождение планов. Если план удовлетворяет условию целочисленности (10.26), -оптимальный план задачи. Если удовлетворяет условию целочисленности (10.26), он яв-ся оптимальным планом задачи с условиями (10.24), (10.25), (10.27) и некоторым планом исходной задачи (10.23) - (10.26). На пятом этапе выполняют ветвление. Ветвление производят в том случае, когда план не удовлетворяет условию целочисленности (10.26). Пусть - одна из нецелочисленных компонент плана, где 1 ≤ρ≤n₁, тогда множество разбивают на два подмножества:

.причем ; (10.28) (10.29)