Тема 4. Сопротивление материалов.

Содержание темы: Понятия, гипотезы, допущения. Метод сечений и виды дефор­маций. Растяжение и сжатие. Закон Гука. Сдвиг (срез) и смятие. Кручение. Напряжения и деформации при кручении. Изгиб. Поперечная сила и изгибающий момент. Динамические нагрузки. Удар.

4.1.1. Предмет и задачи раздела

В процессе эксплуатации машин всякий элемент конструкции в ре­зультате воздействия на него внешних сил неизбежно изменяет свои первоначальные размеры и форму, но при этом работоспособность элементов конструкции обеспечивается. Это достигается решением задачи по опреде­лению размеров элементов при минимальных затратах материалов.

Изменение первоначальных размеров и формы тела при действии на­грузки называется деформацией. Различают два вида деформаций:

-деформация, исчезающая после снятия действующей нагрузки на тело, называется упругой.

-часть дефор­мации, остающаяся после снятия действующей нагрузки на тело, называ­ется пластической (остаточной).

Как отмечалось ранее, внешние силы делятся на активные и реакции связей.

Активные внешние силы принято называть нагрузками.

В свою очередь нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные.

По характеру их действия принято различать статические, динамические и повтор­но переменные. Таким образом, внешние силы, действуя на тело, дефор­мируют его.

К инженерным конструкциям предъявляются различные требования:

прочность, жесткость, устойчивость, надежность, экономичность, долговечность.

Основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.

Прочность - способность конструкции, а также ее частей и деталей выдерживать нагрузку без разрушения и без пластических деформаций.

Жесткость - способность конструкции, а также ее частей и деталей сопротивляться нагрузкам в отношении деформации.

Устойчивость - способность конструкции сохранять под действием нагрузки первоначальную форму упругого равновесия.

Расчеты на прочность, жесткость и устойчивость называют прочно­стными.

Различают два вида прочностных расчетов:

• проектирование конструкции из условий обеспечения прочности, жесткости, устойчивости включает в себя проектные расчеты;

• проверка спроектированной конструкции на прочность, жесткость, устойчивость заключается в соответствующих проверочных расче­тах.

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устой­чивости частей сооружений и машин.

Она имеет прикладную техническую направленность. Основная ее цель - создать практически приемлемые, простые приемы расчета типовых, наиболее часто встречающихся элементов инженерных конструкций.

Сопротивление материалов решает свои задачи, основываясь как на теоретических, так и на опытных данных. В теоретической части эта наука базируется на теоретической механике и математике, а в эксперименталь­ной части - на физике и материаловедении.

В большинстве случаев реальные детали машин имеют сложную конфигурацию. Однако каждую из них при расчетах можно рассматривать с большей или меньшей степенью точности как брус (стержень), пластину или оболочку.

Брус (стержень) - тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим (с длиной).

Линия, соединяющая центры тяжести поперечных сечений бруса, на­зывается осью бруса.

Плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением бруса.

Бывают прямые и кривые брусья с постоянным, непрерывно или ступенчато изменяющимся поперечным сечением.

Примеры брусьев: балки, оси, валы, стержни фермы мостового кра­на, грузоподъемные крюки, звенья цепей.

Пластина - тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, у которого два размера велики по сравнению с третьим (с толщиной).

Примеры пластин: плоские днища и крышки резервуаров, перекры­тия инженерных сооружений, диски турбомашин.

Оболочка - тело, ограниченное двумя криволинейными поверхно­стями, у которого два размера велики по сравнению с третьим (с толщи­ной).

Бывают оболочки цилиндрические, конические, сферические и др.

Примеры оболочек: тонкостенные резервуары для жидкостей и га­зов, котлы, купола зданий, элементы обшивки фюзеляжей, крыльев, и др. частей летательных аппаратов, корпуса судов (кораблей, подводных ло­док).

4.1.2. Гипотезы сопротивления материалов

Теория сопротивления материалов рассматривает прочность, жест­кость и устойчивость элементов конструкций, которые зависят от физиче­ских свойств материала, и характеризуются механическими свойствами, например, такими как:

Упругость - свойство материала восстанавливать первоначальные размеры и объем после снятия нагрузки.

Прочность - свойство материала в определенных условиях и преде­лах, не разрушаясь, воспринимать те или иные воздействия (нагрузки, не­равномерные температурные, магнитные, электрические и другие поля).

Пластичность - свойство материала под действием внешних нагружений изменять, не разрушаясь, свою форму и размеры и сохранять остаточность деформации после снятия этих нагрузок.

Хрупкость - способность твердых тел разрушаться при механических действиях без заметной пластической деформации.

I) связи с большим многообразием свойств существующих конст­рукционных материалов и неизбежностью деформирования тел под дейст­вием внешних сил в сопротивлении материалов, отказываясь от принятой в теоретической механике модели абсолютно твердого тела, приходится вводить свою модель - модель идеализированного деформируемого тела, которое сохраняет основные важнейшие свойства реального, но лишено его второстепенных свойств. Для этого применяют ряд упрощающих до­пущений — гипотез.

Основные гипотезы о свойствах материалов:

• однородные (обладают во всех точках одинаковыми свойствами);

• сплошные (имеют непрерывное строение);

• изотропные (обладают одинаковыми свойствами во всех направ­лениях);

• идеально упругие (в определенных пределах нагружения обладают совершенной упругостью, т.е. после разгрузки деформации полностью ис­чезают).

Применяют также гипотезы (принципы) о характере деформаций элементов конструкций:

• принцип начальных размеров (перемещения точек приложения сил малы по сравнению с размерами самого тела);

• принцип линейной деформируемости (линейная зависимость меж­ду нагрузками и деформациями);

• принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции (результат действия системы сил не зависит от последовательности нагру­жения ими тела и равен сумме результатов действия каждой из сил в от­дельности).

Существуют и другие научные предположения. Справедливость ги­потез проверяется опытным путем.

Метод сечения.

Различают два вида сил, действующих на элементы инженерных конструкций:

внешние и внутренние.

Внешней силой называется механическое воздействие одного тела на другое тело.

Из физики твердого тела известно, что между двумя частицами ма­териала существуют силы взаимного притяжения и отталкивания, которые зависят от среднего расстояния между ними, а, следовательно, изменяются при деформации.

Внутренние силы (силы упругости) — это силы взаимодействия меж­ду частицами тела, возникающие под действием внешних сил. Они представляют собой привращение сил взаимодействия между частицами тела при действии на него внешних сил.

Для определения внутренних сил по заданным внешним силам ис­пользуют метод сечений, который заключается в том, что тело мысленно разрезают плоскостью на две части, любую из частей отбрасывают и вза­мен отброшенной к сечению оставшейся части прикладывают внутренние силы, действовавшие до разреза. Оставленную часть рассматривают как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил и приложенных к сечению внутренних сил.

Рассмотрим какое-либо произвольно нагруженное тело (рис. 3.1) и применим к нему метод сечений.

Мысленно разрезаем тело на две части поперечным сечением, в котором определяются внутренние силы. Правую часть отбросим (рис. 3.2). Действие от­брошенной части на оставленную заме­няем внутренними силами в сечении, пе­реводя их в разряд внешних сил путем приведения к центру тяжести сечения С в виде главного вектора R и глав­ного момента М: Векторы R и М являются статическим эквивалентом системы внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении

¯R=¯N+¯Q_x+¯Q_y , ¯M=¯M_x+¯M_y+¯M_z,

Составляющие главного вектора ¯R и главного момента ¯М внутренних сил называются внутренними силовы­ми факторами. Их величину определяют из условий равновесия оставленной части тела:

Σ F_x = 0 → Q_x - поперечные силы

Σ F_y = 0 → Q_y - поперечные силы

Σ F_z = 0→ N - продольная сила

Σ М_x = 0 →М_x - изгибающие моменты

Σ М_у = 0 →М_у - изгибающие моменты

Σ М_z = 0 →М_z = T_k - крутящий момент

В зависимости от вида нагружения в сечениях тела может возникать от одной до шести составляющих внутренних сил. Четырем видам внут­ренних силовых факторов соответствуют четыре вида простых деформа­ций бруса:

N - соответствует деформация - растяжение (сжатие);

Qx , Qy ~ соответствует деформация — сдвиг (срез);

М_х, My - соответствует деформация - изгиб;

M_z = Tk - соответствует деформация - кручение.

Сложная деформация бруса представляет собой совокупность не­скольких простых деформаций (изгиб с растяжением-сжатием, изгиб с кручением и др.).

Внутренние силовые факторы в различных поперечных сечениях те­ла, как правило, неодинаковы. График изменения внутренних сил (или факторов) по длине тела называется эпюрой внутренних сил (силовых факторов).

4.2. Интенсивность внутренних сил и деформации

4.2.1. Напряжение, его характеристика и условие прочности

Рассмотрим произвольно нагруженное тело и применим к нему ме­тод сечений (рис. 3.3). Распределение внутренних усилий по сечению за­ранее неизвестно и составляет одну из главных задач дальнейшего иссле­дования.

Выделим в сечении бесконечно малый элемент площадью ΔА в окре­стности произвольной точки К. Ввиду малости этого элемента можно считать, что в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одинаковы по модулю и направлению и, следовательно, представляют собой систему параллельных сил.

Рис. 3.3. А- площадь сечения, ΔА -малая площадка в окрестности точ­ки К, ΔR - равнодействующая внутренних сил на площадке ΔА.

Равнодействующую этой системы обозна­чим ΔR.

Разделив ΔR на величину элементарной площадки ΔА, получим ин­тенсивность внутренних сил. Величина, характеризующая интенсивность внутренних сил, называется напряжением.

Среднее напряжение на элементарной площадке ΔА равно:

(3.1)

Рср = ΔR / ΔА

Таким образом, напряжение есть внутренняя сила, отнесенная к еди­нице площади сечения. Это векторная величина (рис. 3.4).

Единицей напряжения в СИ является Паскаль. 1 МПа (мегапаскаль) = 10⁶ Па.

Равнодействующую ΔR можно разложить на составляющие

ΔR = ΔN + ΔQ_X + ΔQ_y.

Вектор истинного напряжения раскладывают на составляющие: перпендикулярную к сечению и лежащую в плоскости сечения

(рис. 3.4). р = √σ² + τ², (3.3)

где σ = ΔN / ΔA --нормальное напряжение , τ = √τ²_х + τ² _у, касательное напряжение;

τ_{х =} ΔQ_X / ΔА;

τ _у = ΔQ_у / ΔА;

р = √σ² + τ _х² + τ_у²

Экспериментальными исследованиями установлено, что влияние ука­занных напряжений на прочность материала различно, и потому в даль­нейшем окажется необходимым всегда раздельно рассматривать составляющие вектора напряже­ний

(σ и τ).

Напряжение зависит не только от положения точки, но и от направления сечения, прове­денного через эту точку.

Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутренним силовым факторам, а от них к напряжениям - таков в общих чертах план решения основной задачи сопротивления материалов.

По методу определения (экспериментальный или расчетно-теоретической) и месту, занимаемому в расчетах на прочность, различают следующие виды напряжений:

1) Предельные (опасные) напряжения σ-_пред((τ_пред) или σ_оп(τ_оп), при достижении которых появляются заметные пластические деформации (если материал пластичный) или признаки хрупкого разрушения (если ма­териал хрупкий).

Они определяются при механических испытаниях материала и зави­сят от его свойств и вида деформации (растяжение, сжатие и т.д.).

Для пластических материалов σ_пред = σ_т - предел текучести (т_т).

Для хрупких материалов σ_пред = σ_т - предел прочности или вре­менное сопротивление (т_в)

2) Расчетные (рабочие) напряжения σ(τ), которые возникают в нагруженной конструкции. Они зависят от нагрузок и размеров рассчитываемого элемента конструкции.

3) Допускаемые напряжения [σ] ([τ]) - наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены.

Они зависят от материала, точности методов расчета, однородности материала, степени ответственности рассчитываемого элемента (или конструкции в целом) и ряда других факторов.

Отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному называется коэффициентом запаса прочности. п = σ_пред / σ_max (3.4)

Условие прочности:

Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его фактический (расчетный) коэффициент запаса прочности не меньше требуемого (заданного, допускаемого, нормативного) [п,] т. е.

п >[п]. (3.5)

Величина [п] зависит от степени ответственности конструкции, точ­ности применяемых методов расчета и надежности данных о свойствах ис­пользуемого материала.

При расчетах на прочность по опасной точке используют понятие попускаемого напряжения [σ] = σ_{пред /} [n]

И этом случае условие прочности:

Прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, σ_max < [ σ] (3.7)

При значительной недогрузке (если максимальное рабочее напряже­ние значительно меньше допускаемого), конст­рукция является излишне тяжелой, неэкономичной.

Незначительная перегрузка σ_max > [ σ] прочности конструкции, т.к. даже при наиболее благоприятных условиях работы и высокой точности расчета

[п] = 1,4 ...1,5-для пластичных материалов,

[п] > 3 ... 4- для хрупких материалов.

В связи с этим в практике инженерных расчетов допускается ограни­ченное невыполнение условия прочности (обычно в пределах ±3 ... 5%).

Таким образом, расчет конструкции на прочность выполняется в следующем порядке:

от внешних сил с помощью метода сечений к внут­ренним силам, а от них к напряжениям и условно прочности.

4.2.2. Деформации элемента тела, их характеристика и условие жесткости

Рассмотрим деформирование произвольно нагруженного тела (рис. 3.5). Выделим бесконечно малый элемент тела в окрестности его точ­ки К.

При деформировании тела под действием нагрузки будет искажаться и этот элемент.

Двум видам напряжений соответствуют два вида деформаций эле­мента тела:

• нормальным напряжением σ соответствует линейная деформация (изменение линейных размеров элемента);

• касательным напряжением τ - угловая деформация (искажение углом между гранями элемента), сдвиг материала.

Любая сложная деформация элемента тела может быть представлена в виде совокупности этих двух простых деформаций.

При деформировании произвольно нагруженного тела изменяются все три линейных размера его элемента. Рассмотрим линейную деформа­цию на примере растяжения вдоль оси х (рис. 3.6).

Абсолютная линейная деформация (в м) равна приращениям размеров d x и d y .

Δ(dx) > 0 - абсолютное удлинение,

Δ(dy) < 0 - абсолютное укорочение.

Относительная линейная дефор­мация (обычно в %) определяется по от­ношению к начальным размерам dx и dy:

ε _х =Δ(dx) / dx ε _у =Δ(dу) / dу

Деформирование тела под действием нагрузки вызывает изменение углов между гранями его элемента.

Рассмотрим угловую деформацию на примере сдвига вдоль плоскости xz (рис. 3.7)

Абсолютная угловая деформация (из­меряемая в метрах) равна абсолютному сдви­гу Δхz граней элемента.

Относительная угловая деформация определяется как относительный сдвиг

Δхz / dy =tg γ.

Угол γ_xz называется углом сдвига

С учетом бесконечно малых размеров элемента можно считать - tg γ = γ_xz

Тогда γ_xz = Δхz / dy

Условие жесткости: жесткость конструкции считают обеспеченной, если ее наибольшая деформация не превышает допускаемой, т. е.

ε_max < [ ε] , γ_max < [ γ]

Величины допускаемых деформаций [ε] и [γ] устанавливаются опытным путем при лабораторных и эксплуатационных испытаниях элементов конструкций.

3.2.3. Зависимость между напряжениями и деформациями

Учет физических свойств материала производится зависимостью между напряжениями и деформациями. В результате многочисленных экс­периментов установлено, что в пределах упругих деформаций между де­формацией и соответствующим (действующим в ее направлении) напря­жением существует прямо пропорциональная (или линейная) зависимость с достаточной для практических целей степенью точности в весьма про­стой форме.

При линейной деформации зависимость между напряжением и де­формацией выражается уравнением:

σ = Е*ε, (3.9)

т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительному уд­линению.

Это положение представляет собой закон Гука в общем виде.

При сдвиге, или угловой деформации, зависимость между напряже­нием и деформацией выражается уравнением:

τ = G γ, (3.10)

т.е. касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига.

Это по­ложение представляет собой закон Гука при сдвиге.

Коэффициенты пропорциональности в этих формулах являются фи­зическими постоянными материала, характеризующими его жесткость (в Па):

Е - модуль продольной упругости (модуль Юнга), характеризует спо­собность материала упруго сопротивляться линейной деформации или продольную жесткость материала;

G - модуль сдвига, характеризует спо­собность материала упруго сопротивляться сдвигу, или жесткость мате­риала при сдвиге.

Например, для стали в среднем Е = 2 ■ 105 МПа, G = 8 • 104 МПа.

Для других материалов их значения приводятся в справочниках.

4.3. Растяжение и сжатие

4.3.1. Расчет на прочность

Под действием системы внешних сил стержень находится в равновесии и если система внутренних сил приводится только к равнодействующей N , равной сумме проекции на ось R всех внешних сил , то сила N вызывает растяжение стержня. Деформация в данном случае заключается в увеличении или уменьшении длины стержня, и мы имеем деформацию

растяжения или сжатия стержня.

Рассмотрим прямолинейный брус, жестко закрепленный одним

концом и нагруженный сосредо­точенной силой F (рис. 3.8).

Продольные силы опреде­ляют с помощью метода сечений.

Продольная сила в произ­вольном поперечном сечении бру­са численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось Z бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части. Продольные силы, соответствующие деформации растяжения,

считают положительными, а сжатия - отрицательными.

При растяжении продоль­ная сила направлена от сечения, а при сжатии - к сечению.

В нашем случае при 0<z<l N = +F,const.

Рассмотрим равновесие правой оставленной части бруса

Σ Fz = 0; F = dN

Где dN = σ * dA - элементарная внутренняя сила на бесконечно малой площадке dA,

A – площадь поперечного сечения бруса;

Для решения уравнения проводят эксперимент с моделью бруса, изготовленного из резины, на поверхности которого нанесена система продольных и попе­речных рисок. При растяжении этой моде­ли по характеру искажения сетки устанавливается, что:

1) выполняется гипотеза плоских сечений (R. Бернулли): плоские сечения, перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к его оси при деформации;

2) прямые углы элементов сетки не изменяются, т.е. в поперечных сечениях касательные напряжения отсутствуют (т = 0).

Параллельные перемещения поперечных сечений показывают, что все продольные волокна бруса находятся в одинаковых условиях. Следова­тельно, при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения распреде­лены по его поперечному сечению равномерно, т.е.

σ = const. Тогда σ = N / A (3.12)

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении напряжения считают положи­тельными, а при сжатии - отрицательными.

Условие прочности стержня при растяжении:

σ_max = N / A < [ σ ] (3.13)

С помощью этого условия можно решать три типа задач:

• производить проверочный расчет стержня — N / A < [ σ ]

• проверять несущую способность стержня N < [σ]* А;

• производить расчет стержня A> N / [ σ]