5.2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»
Подставляя
технологические коэффициенты
в
(5.1) для каждой отрасли получаем балансовое
соотношение
С помощью технологической матрицы
эту систему уравнений можно написать в векторной форме:
|
(5.2) |
Уравнение
(5.2)где A - постоянная технологическая
матрица,
-
известный вектор спроса,
-
неизвестный вектор выпуска, называется
моделью Леонтьева. Интерпретируя
выражение
как
затраты, эту систему часто называют
моделью «Затраты-выпуск».
Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы
относительно
переменных
.
Условия существования и единственности
решения такой системы хорошо известны
из курса алгебры. Однако здесь речь идет
о решении этой системы, имеющем подходящий
экономический смысл. А именно, все
элементы модели Леонтьева по их
определению являются неотрицательными
величинами, в том числе переменные
.
Поэтому мы должны говорить о существовании
неотрицательных решений системы (5.2)
Определение 5.1.
Модель Леонтьева называется продуктивной,
если система (5.2)имеет неотрицательное
решение
.
Перепишем систему (5.2) в виде
.
Тогда
или
|
(5.3) |
где
E - единичная
-матрица.
Теперь видно, что существование
неотрицательного решения системы (5.2)
определяется существованием невырожденной
матрицы
,
обратной к матрице
.
Напомним,
что матрица
называется
невырожденной, если она имеет
обратную матрицу
,
определяемую условиями
.
Матрица B является невырожденной в
том и только в том случае, если
,
где
-
детерминант (определитель) матрицы B.
Обратная матрица
существует
и неотрицательна, если все главные
миноры матрицы B положительны
(условие Хокинса-Саймона):
Для того чтобы применить эти условия существования и невырожденности к матрице , приведем ряд дополнительных построений.
Система (5.2) является частным случаем
(при
)
более общей системы
|
(5.4) |
где
.
Рассмотрим следующую, связанную с
уравнением (5.4)систему
|
(5.5) |
где
-
матрица с элементами
|
(5.6) |
Если
для
всех i,j , то систему (5.4)можно
преобразовать в (5.5) положив
,
где
-
символ Кронекера. Обратно, система (5.5)
может быть преобразована в (5.4). Для этого
нужно взять достаточно большое
положительное число
и
положить
.
Отсюда
, причем . |
(5.7) |
Следовательно, если мы найдем условия существования неотрицательного решения системы (5.5), то тем самым докажем продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (5.4) при .
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 5.1. Матрица D системы (5.5), элементы которой удовлетворяют условиям (5.6), неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (5.5) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно).
(Квадратная
матрица D называется неотрицательно
обратимой, если она невырожденна и ее
обратная матрица
неотрицательна).
Теорема 5.2. Уравнение (5.5) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны.
Из
приведенных утверждений следует, что
необходимым и достаточным условием
продуктивности модели Леонтьева
(5.2)является существование неотрицательно
обратимой матрицы
,
т.е. чтобы матрица
была
невырожденна (
)
и чтобы обратная матрица
была
неотрицательна.
Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели
|
(5.8) |
где
-
транспонированная матрица А. Уравнению
(5.8)можно придать смысловую стоимостную
окраску. Действительно, p
- можно интерпретировать как вектор цен
продуктов отраслей, v
- как вектор добавленной стоимости (т.е.
прибавка к стоимости товара после ее
производства) на единицу выпуска,
-
как вектор суммы издержек на единицу
выпуска. Тогда разность
есть
вектор чистого дохода от единицы выпуска.
Этот чистый доход и приравнивается
добавленной стоимости
.
Существование решения двойственного уравнения (5.8) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов.
Если уравнение (5.8) имеет неотрицательное
решение
,
то двойственная модель Леонтьева
называется прибыльной. Это
свойство является двойственным к понятию
продуктивности модели Леонтьева в том
смысле, что выполнение одного из свойств
влечет справедливость другого. Данное
положение является следствием наличия
тесной математической связи между
взаимно двойственными уравнениями
(5.2) и (5.8). Действительно, рассмотрим
«двойственные» к (5.4) и (5.5) уравнения
|
(5.9) |
|
(5.10) |
такие
что (5.8) является частным случаем (при
)
уравнения (5.9), а (5.9)и (5.10), как и (5.4) и
(5.5), взаимно преобразуемы друг в друга.
Тогда для матрицы
справедливы
утверждения, аналогичные теоремам 5.1 и
5.2, а также следующая теорема.
Теорема 5.3. Для того чтобы модель Леонтьева (5.2) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (5.8) была прибыльной.