3.6. Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае

В общем случае (U) удовлетворяет уравнению

(3.5)

Это уравнение обычно решается с помощью численных методов. В случае экспоненциального распределения решением (3.5) является функция

Приведенное решение позволяет провести исследование неравенства Лундберга в экспоненциальном случае (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Графики (U) и exp(-RU) в случае экспоненциальности страховых выплат со средним 1 и надбавкой безопасности =0,2.

На рисунке 3.4 показано, что вероятность разорения резко падает с увеличением надбавки безопасности.

Рис 3.4. График зависимости (10) от  в случае, когда выплаты распределены экспоненциально со средним 1.

3.7. Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование

Согласно неравенству Лундберга (3.2), верхняя граница для вероятности окончательного разорения примет минимальное значение, если величина поправочного коэффициента максимальна. Изучим влияние эффекта перестрахования на поправочный коэффициент.

Рассмотрим эксцедентное перестрахование. Если X - размер страховой выплаты, M - уровень собственного удержания, то Y=min(X,M) - выплаты страховщика, Z=max(0,X-M) - выплаты перестраховщика. Обозначим через  и  надбавки безопасности страховщика и перестраховщика соответственно.

Из неравенства

 p1 E(Z), при < 

(3.6)

можно найти нижний предел M.

Пример 1. Страховые выплаты, производимые страховщиком, имеют экспоненциальное распределение со средним 1. Определить нижний предел M.

Решение. Математическое ожидание выплат, производимых перестраховщиком таково

Из (3.6) получаем

.

Если  =0,15и  =0,3, то M  ln2 = 0.693.

Условие (3.6) устанавливает предел, показывающий, насколько большой может быть часть риска, передаваемая перестраховщику. Но какое значение M должен выбрать страховщик? Поскольку , перестрахование уменьшает ожидаемую прибыль страховщика. Перестрахование - это всегда компромисс между ожидаемыми прибылями и безопасностью. Цель перестрахования - повысить безопасность и безопасность достигается с помощью минимизации вероятности разорения, или максимизации поправочного коэффициента.

С появлением перестрахования поправочный коэффициент удовлетворяет уравнению

(3.7)

Уравнение (3.7) практически имеет вид уравнения (3.6), в левой части берется во внимание появление уровня удержания, а правой - необходимость платить перестраховочный взнос.

В (3.7) следует выбирать M так, чтобы R принял наибольшее значение.

Пример 2. (продолжение примера 1)

В случае, если f(x)=e^-x, x>0, (3.7) примет вид уравнения для определения R.

(3.8)

Выбираем M так, чтобы получить max R. Уравнение (3.8) можно решить числено, например, методом Ньютона.

Рис. 3.5. График зависимости поправочного коэффициента R

от уровня удержания M

Из рисунка 3.5. видно, что существует некоторое значение M (близкое к 1,5 в нашем примере) такое, что если установить уровень удержания ниже этого значения, то вероятность разорения слишком велика - страховщик передает слишком много риска по слишком высокой цене. Если уровень удержания устанавливается выше указанного значения, то возможно небольшое уменьшение безопасности бизнеса или соответствующее увеличение ожидаемой прибыли.