2) Построение нижних и верхних оценок минимального значения целевой функции.

Для исходной задачи, а также для любой ее подзадачи могут быть найдены числа LB и UB такие, что

LB ≤ F^* ≤ UB,

где F^* - минимальное значение целевой функции в задаче или подзадаче, LB и UB – его нижняя и верхняя оценки соответственно.

Нижняя оценка может быть получена в результате решения релаксированной или ослабленной задачи, например, задачи коммивояжера, в которой стоимости всех дуг, входящих в данную вершину, заменены на минимальную из них, и аналогично изменены (уменьшены) стоимости всех дуг, выходящих из данной вершины.

Верхняя оценка может быть получена в результате отыскания любого допустимого решения рассматриваемой задачи и вычисления соответствующего значения целевой функции. Для задачи коммивояжера достаточно подсчитать суммарную стоимость дуг для какого-нибудь допустимого маршрута (допустимой перестановки). Наилучшая, т.е. наименьшая из всех имеющихся в наличии верхних оценок, называется (текущим) рекордом.

Может оказаться, что задача отыскания нижней и/или верхней оценки сама является сложной. В этом случае соответствующая оценка не используется и можно положить LB =- , UB = .

3) Отсеивание вариантов.

В случае, если для некоторой подзадачи ее нижняя оценка превосходит либо равна рекорду, такую подзадачу можно далее не ветвить, так как ее решение будет заведомо хуже либо не лучше решения, соответствующего рекорду.

3)   Оптимальное решение. Процесс вычислений прекращается, когда нет ни одной подзадачи, которая может продолжать ветвиться. В этом случае оптимальное решение соответствует текущему рекорду.■

В приведенном методе остается неопределенным способ выбора подзадачи для ветвления.

Такие способы могут быть различными. Наиболее употребимым является способ, при котором ветвят ту подзадачу, которой соответствует наименьшее значение нижней оценки либо ту, которая быстрее приведет к тривиальной подзадаче.

Различают методы ветвления в глубину и в ширину.

При ветвлении в глубину всегда ветвят одну из подзадач наибольшего уровня. Такое ветвление быстрее приведет к построению полного допустимого решения.

При ветвлении в ширину ветвят подзадачи одного уровня до тех пор, пока все такие подзадачи не будут рассмотрены. Такое ветвление позволяет получать больше нижних и верхних оценок и может привести к большему количеству отсеянных вариантов. Однако требуется больше памяти для хранения промежуточных результатов по сравнению с ветвлением в глубину.

4.9. Нелинейное программирование. Метод множителей Лагранжа

Во многих экономических моделях исследования операций зависимости между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелинейность. Как правило, такие показатели, как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и др., в действительности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т.п. нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования, математическая модель которой формулируется следующим образом: найти переменные х₁, х₂, ..., х_n, удовлетворяющие системе неравенств

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

.

Можно выделить класс нелинейных задач, которые относятся к классическим методам оптимизации. Допустим, что среди ограничений нет неравенств, не обязательны условия неотрицательности, переменные не являются дискретными, т < п, а функции  и  непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка. В этом случае задачу оптимизации можно сформулировать так: найти переменные х₁, х₂, ..., х_n, удовлетворяющие системе уравнений

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

.

Такие задачи в принципе можно решать классическими методами дифференциального исчисления. Однако на этом пути встречаются такие вычислительные трудности, которые делают необходимым поиск других методов решения. Поэтому классические методы часто используется не в качестве вычислительного средства, а как основа для теоретического анализа.

Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных х₁, x₂, ..., х_n, что и целевая функция z.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции z=f(X) при ограничениях, задаваемых так называемыми уравнениями связи

.

Составим функцию

которая называется функцией Лагранжа,  — постоянные множители (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если  — доход, соответствующий плану , а функция  — издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то  — цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) — функция п+т переменных . Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

Легко заметить, что , то есть в систему входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции     z = f(X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума — исследования знака второго дифференциала d²L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения х_j связаны соотношениями

,

полученными путем дифференцирования уравнений связи.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

при условии, что х₁, х₂, х₃ удовлетворяют уравнению .

Решение.

Уравнение связи определяет в пространстве сферу единичного радиуса с

Рис. 4.2

центром в начале координат (рис. 4.2). Так как сфера — замкнутое ограниченное множество, то согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на ней своего наибольшего и наименьшего значений. Необходимо найти условный глобальный экстремум. Запишем уравнение связи в виде: .

Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем частные производные этой функции по .

,

,

,

.

Приравняв частные производные нулю, получим систему:

Решая систему, получим стационарные точки, в которых найдем значения функции z:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Выберем из всех значений z наибольшее и наименьшее: z_max = 1, а z_min=0.