Тема 3. Основы актуарной математики

Цели и задачи изучения темы

В процессе изучения темы студент должен овладеть основными понятиями актуарной математики, получить представление о математических и статистических методах используемых в актуарных расчетах.

При изучении темы рассматриваются следующие вопросы:

1.   Предмет актуарной математики.

2.   Использование решающего правила Байеса.

3.   Задача о разорении. Вероятность разорения.

4.   Сложные пуассоновские процессы.

5.   Неравенство Лундберга.

6.   Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае.

7.   Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование.

3.1. Предмет актуарной математики

Теория риска, иначе называемая страховой или актуарной математикой, имеет целью выработку рекомендаций, основанных на анализе статистической информации при проведении и регулировании рисковых предприятий.

Название научного направления - актуарная математика (actuarial mathematics)  происходит от английского слова actuary - актуарий, статистик страхового общества. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует более широкую область знаний - актуарную науку (actuarial science), которая является теоретической основой страхового бизнеса.

В самом общем виде под актуарными расчетами понимается система математических и статистических методов, определяющая финансовые взаимоотношения двух сторон в различных видах финансовой деятельности. Актуарные расчеты базируются на теории вероятностей, демографической статистике и теории долгосрочных финансовых исчислений.

Одна из традиционных задач актуария заключается в выработке удовлетворительной тарифной системы, что в значительной мере сводится к предсказанию величины страховых выплат, ожидаемых по определенному виду, или видам, страхования, проводящимся страховой компанией.

Прогноз величины страховых выплат базируются на опыте компании, который заключается в поступившей за предшествующий период ее деятельности статистике страховых случаев. Не говоря о том, что эта статистика должна быть достоверной и достаточно полной, что составляет предмет отдельного обсуждения, качество прогноза в решающей степени зависит от того, какая методика применяется актуарием для обработки этой статистики. Другими словами, выбор методики обработки статистической информации решающим образом влияет на качество его рекомендаций руководству страховой компании.

Актуарии за рубежом традиционно играют главную роль в страховании жизни. Например, в Великобритании каждая компания по страхованию жизни обязана иметь назначенного актуария, который несет профессиональную ответственность как перед страхователями и руководством страхового надзора, так и перед советом директоров компании за состояние ее финансов. Аналогична их роль в пенсионных фондах.

Хотя актуарная математика широко использует методы теории вероятностей и математической статистики, она является самостоятельным научным направлением со своими предметом, методами и сферой применений.

Актуарное образование в мире имеет вековые традиции. Однако в нашей стране с почти 70-летним отсутствием свободных рыночных отношений актуарное образование и актуарная наука практически отсутствовали до 90-х годов XX века. В настоящее время появился огромный интерес к этой сфере деятельности, что связано с большой потребностью в специалистах-актуариях со стороны страховых компаний, число которых в России уже составляет несколько тысяч.

Самый высокий мировой стандарт профессиональной подготовки в области актуарной науки дает, по-видимому, программа Общества Актуариев (США).

Теория вероятностей, как математическая наука, позволяющая по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким–либо образом с первыми, является естественной и общепринятой основой актуарных прогнозов и рекомендаций.

Однако все результаты этой теории имеют четко очерченные границы применимости. Поэтому перед обращением к какому–либо теоретическому результату актуарий обязан сознательно и полно проверить возможность его использования в рассматриваемой им конкретной ситуации.

Различают актуарную математику в имущественном и личном страховании. Под имущественным страхованием (non-life insurance) понимаются все виды страховой деятельности, не связанные с личным страхованием (страхование жилья, автомобилей, предприятий, банковских капиталов и т.п.). Под личным страхованием (life insurance) понимается страхование жизни, здоровья, пенсий и т.п.

Личное страхование подразделяется на страхование жизни и страхование от несчастных случаев. Страхование жизни в самом общем случае можно рассматривать как выплату денежных сумм в зависимости от наступления определенных событий в жизни застрахованного. К таким событиям или по страховой терминологии к критериям страхового риска в страховании жизни, обычно относятся: болезнь, инвалидность, смерть или, наоборот, дожитие до определенного возраста. Из каких фондов могут быть выплачены эти денежные суммы и в каких размерах - основной вопрос актуарных расчетов. Формирование страховых фондов осуществляется из страховых взносов (платежей, премий). Поэтому основной вопрос актуарных расчетов может звучать и как определение размеров страховых взносов для обеспечения их достаточности при установленных размерах выплачиваемых денежных сумм. Общая денежная сумма, на которую застрахована жизнь страхователя, называется страховой суммой.

Таким образом, под актуарными расчетами в широком смысле понимается система математических и статистических методов, обеспечивающих финансовую эквивалентность обязательств страхователя и страховщика.

Страхователь - физическое или юридическое лицо, страхующее имущество, заключающее со страховщиком договор личного страхования или страхования ответственности. Страхователь уплачивает страховые взносы и имеет право по закону (обязательное страхование) или по договору (добровольное страхование) получить при наступлении страхового случая возмещение (страховую сумму), а также обеспечить его получение другим лицам (в страховании ответственности и личном страховании). В имущественном страховании страхователем могут быть собственник имущества, лицо, получившее имущество в аренду или пользование, организация, принимающая материальные ценности на хранение, в залог (ломбард) и т.д. В личном страховании страхователями являются граждане, застраховавшие себя, других лиц (например, детей), а также организации, заключающие договоры страхования своих работников. В страховании ответственности страхователем выступает любое физическое или юридическое лицо, передающее страховщику на основе закона или договора свои обязанности по возмещению ущерба (вреда) третьим лицам, которые могут возникнуть вследствие какой-либо деятельности страхователя (или его бездеятельности).

Застрахованный - физическое лицо, в пользу которого заключен договор страхования. Естественно, что понятия застрахованный и страхователь являются синонимами, когда физическое лицо заключает договор страхования своих имущественных интересов.

Страховщик - организация, проводящая страхование и принимающая на себя обязательство возместить страхователю или другим лицам, участвующим в страховании, ущерб или выплатить страховую сумму.

Потребность в актуарных расчетах объективно существует не только для отдельных видов страхования жизни. В проведении актуарных расчетов нуждается медицинское страхование, имущественное, ответственности и ряд других.

Актуарные расчеты позволяют определить страховые тарифы - ставки платежей с единицы страховой суммы за определенный период. При страховании жизни, как и в целом в личном страховании, страховой суммой называется конкретный размер денежных средств, устанавливаемый договором, и выплачиваемых при наступлении страхового случая.

Денежные суммы или величины p₁, p₂,…,p_n, которые страхуемые платят страховой компании, называются страховыми премиями (premiums).

Величины b₁, b₂,…, b_,   n , которые платит компания в результате наступления  страховых случаев называются страховыми выплатами (benefits).