- •Введение в математическую экономику
- •1. Предмет и задачи математической экономики
- •2. Математическое моделирование экономических систем
- •3. Примеры экономических задач оптимизации и управления
- •4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления
- •5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях
- •Тема 1. Элементы финансовой математики
- •1.1. Сущность финансовой математики
- •1.2. Основные категории, используемые в финансово–экономических расчетах
- •1.3. Фактор времени в финансово–экономических расчетах
- •1.4. Наращение
- •1.5. Дисконтирование
- •1.6. Номинальная и эффективная ставка
- •1.7. Эквивалентность процентных ставок
- •1.8. Сущность инфляции
- •1.9. Учет инфляции при расчете наращивания
- •1.10. Кредитные расчеты. Равные процентные выплаты
- •1.11. Погашение долга равными суммами
- •1.12. Равные срочные выплаты
- •1.13. Потребительский кредит
- •Тема 2. Оценка инвестиционных процессов
- •2.1. Особенности инвестиционных процессов
- •2.2. Чистый приведенный доход
- •2.3. Срок окупаемости
- •2.4. Внутренняя норма доходности
- •2.5. Построение оптимального портфеля
- •2.6. Моделирование финансовых рисков
- •2.7. Принципы определения цены
- •2.8. Простейший и классический процессы риска
- •Тема 3. Основы актуарной математики
- •3.1. Предмет актуарной математики
- •3.2. Использование решающего правила Байеса
- •3.3. Задача о разорении. Вероятность разорения
- •3.4. Сложные пуассоновские процессы
- •3.5. Неравенство Лундберга
- •3.6. Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае
- •3.7. Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование
- •Тема 4. Задачи оптимизации и управления в экономике
- •4.1. Основные понятия исследования операций
- •4.2. Классификация задач исследования операций
- •4.3. Построение экономико-математической модели
- •4.4. Линейное программирование
- •4.5. Геометрический метод решения задачи линейного программирования
- •4.6. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •4.7. Транспортная задача линейного программирования
- •4.8. Задача коммивояжера и метод ветвей и границ
- •2) Построение нижних и верхних оценок минимального значения целевой функции.
- •3) Отсеивание вариантов.
- •4.9. Нелинейное программирование. Метод множителей Лагранжа
- •4.10. Задача выпуклого программирования
- •4.11. Понятие о параметрическом и стохастическом программировании
- •4.12. Общая постановка задачи динамического программирования
- •4.13. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
- •4.14. Задача о распределении средств между предприятиями
- •4.15. Общая схема применения метода дп. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет
- •Тема 5. Математические модели экономических процессов
- •5.1. Линейные модели экономики
- •5.2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»
- •5.3. Планирование производства в динамике (модель Неймана «расширяющейся» экономики)
- •5.4. Математическая теория потребления. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров
- •5.5. Функция полезности как критерий оценки товаров
- •5.6. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления
- •5.7. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Уравнение Слуцкого
- •5.8. Математическая теория конкурентного равновесия
- •5.9. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции. Модель Вальраса
4.7. Транспортная задача линейного программирования
Транспортная задача (ТЗ) ЛП может быть сформулирована следующим образом.
Имеется m пунктов отправления (производства) A1,..., Am, в которых имеется товар в количестве ai,...,am соответственно. Кроме того, имеется n пунктов назначения (потребления) B1,..., Bn, в которых имеются заявки на этот товар в количестве b1,..., bn соответственно. Предполагается, что
т.е. все, что произведено, должно быть получено. Приведенное уравнение называется условием баланса.
Известна стоимость cij перевозки единицы товара из пункта отправления Ai в пункт потребления Bj. Требуется составить такой план перевозок товара, при котором весь товар из пунктов производства вывезен, все заявки в пунктах потребления удовлетворены и общая стоимость перевозок минимальна.
Математическая модель ТЗ состоит в следующем. Обозначим через xij количество товара, перевозимого из Ai в Bj. Составим задачу ЛП:
На практике условие баланса может не выполняться. Что делать? Если
, (производится больше, чем потребляется),
то вводим новый пункт потребления Bn+1 с запросом
Полагаем
ci,n+1 = 0, i = 1,... , m.
Если же
, (потребляется больше, чем производится),
то вводим новый пункт производства Am+1 с предложением
Полагаем
cm+1,j =0, j = 1, ... , n.
В дальнейшем будем считать, что условие баланса выполнено.
Отметим, что ранг системы ограничений ТЗ равен т + п-1 (на 1 меньше т + п за счет связующего условия баланса). Поэтому количество базисных переменных также равно т + п — 1.
Исходные данные ТЗ удобно представлять в виде транспортной таблицы (ТТ).
Ai/Bj |
B1 |
B2 |
… |
Bn |
Запасы ai |
A1 |
с11 |
с 12 |
… |
с 1n |
a1 |
A2 |
с 21 |
с 22 |
… |
с 2n |
a2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
сm1 |
сm2 |
… |
cmn |
am |
Заявки bj |
b1 |
b2 |
… |
bn |
Σ ai = Σ bj |
Опорным планом ТЗ называется такое распределение объемов перевозок в ТЗ, что
− это распределение является допустимым,
− число базисных переменных равно т + п — 1, все остальные (свободные) переменные равны нулю. Отметим, что некоторые базисные переменные также могут равняться нулю,
− не существует цикла, все вершины которого соответствуют базисным переменным.
Циклом в ТТ называется набор клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в точках излома совершает поворот на 900.
4.8. Задача коммивояжера и метод ветвей и границ
Предположим, что фирма должна провести рекламную кампанию во всех областных городах Беларуси. Она решила провести рекламную кампанию в каждом городе ровно по одному разу. Известно, сколько стоит переезд между двумя любыми городами. Фирма желает снизить свои дорожные расходы.
Математическая модель такой ситуации называется задачей коммивояжера, которая состоит в следующем. Задан полный ориентированный или неориентированный граф, для определенности, орграф. Орграф называется полным, если каждая пара вершин i и j соединена дугами (i, j) и (j, i). Известна стоимость сij каждой дуги (i,j). Требуется построить гамильтонов цикл (т.е. цикл, проходящий через каждую вершину ровно по одному разу) такой, что суммарная стоимость всех его дуг была минимальной. Отметим, что есть взаимно однозначное соответствие между гамильтоновыми циклами (т.е. маршрутами коммивояжера) в полном графе с п вершинами и перестановками п элементов. Перестановка = (i1,...,in) соответствует маршруту коммивояжера, проходящему через вершины i1,..., in и включающему дуги (i1, i2), (i2, i3), …, (in-1,in),(in,i1).
Основным методом решения задачи коммивояжера является метод ветвей и границ (МВиГ). Этот метод является универсальным и может применяться для решения практически всех дискретных экстремальных задач.
Основные принципы МВиГ для решения задачи минимизации состоят в следующем.
1) Ветвление.
Исходная задача разбивается (ветвится) на две или более подзадачи таким образом, что решение исходной задачи является решением хотя бы одной из подзадач. Каждая из подзадач, в свою очередь, аналогичным образом ветвится на более мелкие подзадачи. Процесс может повторяться до тех пор, пока получаемая подзадача не становится тривиальной и ее решение может быть легко найдено.
Указанный процесс можно представить в виде так называемого дерева ветвлений. Вершины дерева ветвлений соответствуют подзадачам и разбиты на уровни. Исходная задача является вершиной нулевого уровня. Подзадачи, полученные из исходной задачи, являются вершинами первого уровня. Подзадачи, полученные из вершин первого уровня, являются вершинами второго уровня, и т.д. Дуги направлены из вершин уровня i в вершины уровня i + 1. В каждую вершину входит ровно одна дуга.