4.3. Построение экономико-математической модели

Несмотря на большое разнообразие математических моделей, существуют важнейшие элементы, которые присутствуют практически во всех моделях.

Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

- постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем. Обозначим их , , …;

- зависимые факторы (элементы решения) , , …; оперирующая сторона может выбирать их по своему усмотрению, учитывая определенные ограничения.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. Модель операции – это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и др.)

Эффективность операции, то есть степень соответствия хода операции поставленной цели, количественно выражается в виде критерия эффективности, который представляет собой некоторую целевую функцию, зависящую от определенного набора факторов. В математической модели эквивалентом цели операции является требование оптимизации (максимизации или минимизации) целевой функции.

Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде:

Найти переменные , , … , удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию

,

условия неотрицательности переменных, входят в систему ограничений.

С целью иллюстрации основных понятий исследования операций и составляющих элементов математических моделей рассмотрим несколько простых примеров построения моделей для содержательных задач.

Для построения математической модели конкретной задачи рекомендуется выполнить следующую последовательность работ:

1.      изучение условия задачи,

2.      определение важнейших факторов,

3.      выделение известных и неизвестных факторов,

4.      выявление постоянных и зависимых факторов,

5.      дополнение условия задачи недостающими сведениями,

6.      введение системы обозначений,

7.      составление математической модели (математическое описание важнейших факторов, соотношений и связей между параметрами).

Пример 1. Планирование суточного выпуска продукции – задача об использовании ресурсов

Процесс изготовления изделий двух видов состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Известны время эксплуатации станка в сутки, время обработки каждого изделия на каждом станке, стоимость реализации единицы каждого изделия.

Требуется составить для фирмы план суточного выпуска изделий так, чтобы доход от их продажи был максимальным.

Решение:

На основании сведений, указанных в условии задачи, имеем:

-        оперирующая сторона – фирма,

-        цель – максимизация дохода от продажи выпущенных за сутки изделий двух видов,

-        зависимые факторы: принятие решения состоит в определении суточных объемов выпуска каждого из двух видов изделий,

-        ограничения: возможности ограничены временными ресурсами эксплуатации станков трех видов.

После выявления важнейших факторов нужно анализировать все параметры задачи: значение каких параметров известно (задано), какие параметры являются неизвестными (искомыми) величинами, какие из параметров являются постоянными и какие зависимыми факторами.

В нашем примере известными являются следующие параметры:

-        суточная норма  эксплуатации станка j, j=1,2,3,

-        время  обработки единицы изделия вида i (i=1,2) на станке типа j, (j=1,2,3),

-        стоимость  продажи единицы продукции вида i (i=1,2).

Все эти параметры являются постоянными.

Неизвестными (искомыми) являются величины:

-        объем  суточного выпуска изделия вида i (i=1,2).

Эти параметры считаем зависимыми, так как фирма сама определяет их величину (исходя из реальных условий). По смыслу задачи .

Тогда доход F от продажи составит  от реализации изделия вида 1 и  от реализации изделия вида 2, то есть

.

Время, необходимое для обработки  единиц изделий на станке j, равняется величине

,

Теперь первоначальную задачу можно сформулировать математически:

.                                        (4.1)

                                        (4.2)

Экономико-математическая модель данной задачи формулируется в следующем виде: Найти план  выпуска изделий, удовлетворяющий системе (4.2), при котором функция (4.1) принимает максимальное значение.

Рассмотрим примеры экономико-математических моделей некоторых известных задач.

Пример 2. Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).

Имеется два вида крома I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁ , S₂ , S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в следующей таблице.

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 рублей.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Составить дневной рацион Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий следующей системе:

и условию

х₁  0, х₂  0,

при котором функция F

F=4х₁ +6х₂

принимает минимальное значение.

Пример 3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке)

Предприятию задан план производства продукции: требуется за время T выпустить n₁, n₂,…, n_k единиц продукции P₁, P₂,…, P_k. Продукция производится на станках S₁, S₂,…, S_k. Для каждого станка известны производительность a_ij (то есть число единиц продукции P_j, которое можно произвести на станке S_i) и затраты b_ij на изготовление продукции P_j на станке S_i в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (то есть так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим x_ij – время, в течение которого на станке S_i будут изготовлять продукцию P_j .

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Найти такое решение Х=(x₁₁,x₁₂,…,x_mk), удовлетворяющее следующим системам:

и условию

x_ij0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,k

при котором функция F

F = b₁₁x₁₁ + b₁₂x₁₂ + …+ b_mkx_mk

принимает минимальное значение.

Пример 4. Задача о раскрое материалов.

На раскрой поступает материал одного образца в количестве а единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональным числам b₁, b₂, b_l (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-того способа (i=1,2,…,n) дает a_ik единиц k-того изделия (k=1,2,…,l).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Обозначим x_i – число единиц материала, раскраиваемых i-тым способом, и х – число изготавливаемых комплектов изделий.

Экономико математическая модель задачи имеет вид:

Найти такое решение Х=(x₁₁,x₁₂,…,x_nm), удовлетворяющее следующей системе:

и условию x_ij  0,

при котором функция F = x принимает максимальное значение.

Приведенные выше задачи являются задачами математического программирования, точнее - задачами линейного программирования с целевой функцией F и множеством допустимых решений, которое описывается системой неравенств.