2.5. Построение оптимального портфеля

Рассмотрим задачу составления инвестиционного портфеля акций.

Составить портфель из заданного набора акций очень просто – достаточно купить определённое количество акций разных компаний. Если купить другое количество акций тех же компаний, получится другой портфель. Как видно, на одних и тех же компаниях можно составить практически бесконечное множество портфелей. Как же из них выбрать лучший? Ответ на этот вопрос даёт теория оптимального портфеля.

Прежде чем описывать результаты теории, зададимся вопросом: а зачем вообще составлять портфели? Главная причина – это снижение риска. Совершенно понятно, что вероятность падения стоимости акций одной компании на 50 % (или вообще до 0!) существенно выше, чем, например, сразу пяти компаний. Предположим, вы считаете, что цена акции одной компании вырастет на 5%. Можно вложить средства в эту компанию и заработать 5%, если, конечно, ваш прогноз оказался верным. А если вы ошиблись, и цена упала на 10%? В таком случае вы потеряете 10%. Один из способов подстраховать себя от возможной ошибки – составить портфель из акций нескольких компаний так, чтобы ожидаемая доходность портфеля была равна 5%. Даже если вы ошиблись, не упадут же цены сразу всех компаний в портфеле на 10%!

Подобными интуитивными представлениями инвесторы и руководствовались при составлении портфелей, пока не появилась теория оптимального портфеля. С помощью этой теории можно составлять максимально диверсифицированные портфели – такие, риск которых минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями из акций тех же компаний. В качестве меры риска Марковиц рассматривает стандартное отклонение, характеризующее вероятность отклонения доходности портфеля от ожидаемого значения. Чем больше стандартное отклонение, тем более рискованный портфель, потому что вероятность отклонения от ожидаемой доходности портфеля выше. Таким образом, любой портфель можно охарактеризовать двумя параметрами – ожидаемой доходностью и риском. Если построить плоскость в координатах доходность/риск, то любой портфель может быть изображён точкой на этой плоскости, а все возможные портфели из заданного набора акций образуют облако, как на рисунке.

Эффективная граница и случайные портфели

Как видно из рисунка, множество всех возможных портфелей имеет чёткую границу слева. Это значит, например, что при риске 6% из данных акций нельзя составить портфель с ожидаемой доходностью меньше 5% и больше 9%. С практической точки зрения интерес представляет верхняя часть границы, которая называется эффективной границей.

При заданном уровне риска не существует портфеля с большей ожидаемой доходностью, чем тот, что находится на эффективной границе. И наоборот, при заданном уровне ожидаемой доходности невозможно сформировать портфель с меньшем уровнем риска, чем тот, что находится на эффективной границе.

Кроме того, существует портфель с минимально возможным риском – так называемый минимальный портфель. На рис.1 он показан красной точкой. Портфель с меньшим риском (при любой ожидаемой доходности), чем у минимального портфеля, сформировать невозможно.

После того, как построена эффективная граница, вам осталось только выбрать на ней точку, отражающую ваши предпочтения по требуемой доходности и приемлемому риску.

Рассмотрим задачу определения оптимального портфеля.

Инвестор может вложить свои деньги не в один вид ценных бумаг, а в несколько видов, сформировав портфель ценных бумаг. Как уже говорилось, это, как правило, наиболее целесообразно.

Произведем соответствующий анализ. Пусть x_j, j=1, 2, …,n – доля общего вложения, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг, так что

                                                              (2.1)

Доходность портфеля R_p, очевидно, равна

,                                                      (2.2)

если доходность j-го вида равна R_j.

Согласно правилам теории вероятностей ожидаемый доход от портфеля равен

.                    (2.3)

Отклонение от ожидаемого значения равно

.                                             (2.4)

Математическое ожидание квадрата этого отклонения есть дисперсия дохода портфеля

,  (2.5)

где величины

являются ковариациями случайных величин R_i и R_j.

Любой вид рисковых ценных бумаг мы будем характеризовать двумя величинами: ожидаемой доходностью и мерой риска – вариацией или среднеквадратичным отклонением эффективности. Эти же величины можно вычислить для любого портфеля ценных бумаг, если известны ковариации между эффективностями.

Естественно, что и ожидаемая эффективность, и вариация портфеля будут зависеть от его структуры, т. е. доли исходного капитала, вложенной в каждый вид ценных бумаг. Инвестор всегда сталкивается с дилеммой: желание обеспечить вложение с наименьшим риском. Поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор, который зависит от характера самого инвестора и от его склонности к риску. Однако разумный инвестор должен быть уверен, что, определив в качестве цели достижение наибольшей ожидаемой эффективности, он выберет такую структуру, которая поможет добиться этого с наименьшим риском.

Математическая формализация этого процесса впервые предложена Г. Марковицем (H. Markovitz) в 1951 г., за что позднее он был удостоен Нобелевской премии по экономике. Сам факт присуждения этой премии является свидетельством важности проблемы оптимального портфеля для экономической науки в целом.

Пусть, как и ранее, x_j – доля капитала, вложенного в ценные бумаги j-го вида. Тогда, учитывая формулы (2.3), (2.5), можно свести задачу выбора оптимальной структуры портфеля к следующей математической проблеме.

Найти x_j, минимизирующие риск доходности портфеля

,

при условии, что обеспечивается заданное значение m_p ожидаемой доходности, т. е.

.

Поскольку x_i – доли, то в сумме они должны давать единицу:

.

Решение этой задачи обозначим знаком *. Если x_j*>0, то это означает рекомендацию вложить долю x_jx* наличного капитала в ценные бумаги вида j. Если x_j*<0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве - x_j* (на единицу наличного капитала), т. е. участвовать в операции типа short sale. Если таковые невозможны, то приходится вводить дополнительное требование: x_j не должны быть отрицательными.

Через несколько лет после публикации знаменитой Г. Марковица об оптимальном портфеле другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых ценных бумаг на рынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые) типа государственных обязательств с фиксированным доходом.

Поэтому и на практике, и в теории главная задача – правильное распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.