1. Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x), дифференцируемая на X, называется первообразной для функции f(x), если всюду на этом промежутке выполняется равенство: F’(x)=f(x). Если F(x) – первообразная для f(x), то первообразной для f(x) так же будет являться функция F(x)+C, C=const. Имеет место и обратное утверждение: любые 2 первообразные функции f(x) отличаются друг от друга на постоянную.

Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается: ∫f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ∫ (f(x)dx)’=f(x)

2. ∫ F’(x)dx=F(x)+C

3. ∫ (f(x)+g(x))dx=∫ f(x)dx+∫ g(x)dx

4. ∫ K*f(x)dx= K∫ f(x)dx

2. Основные методы интегрирования

Замена переменных: пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x)dx и мы нашли функцию x=x(t), которая на промежутке дифференцируемая, монотонна, непрерывна и существует обратная функция t=t(x) и интеграл превратится в следующий:

∫ f(x)dx= ∫ f(x)*x’(t)dt= F(t)+C= F(t(x))+C

Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) – две непрерывные дифференцируемые функции, тогда имеет место формула: ∫ udv= uv-∫vdu или ∫u v’dx= u*v - ∫ v*u’dx

Интегрирование рациональный дробей: (a₀+a₁x+…+a_mx^m)/(b₀+b₁x+…+b_nxⁿ)= P_m(x)/a_n(x), причем если m>n, то дробь неправильная, если m<=n, то дробь правильная

3. Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интегралы вида ∫ sinKx*sinMx dx, ∫sin Kx*cos Mx dx, ∫ cos Kx*cos Mx dx вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

Sin Kx*sin Mx=1/2(cos(k-m)x-cos(k+m)x)

Sin Kx*cos Mx=1/2(sin(k-m)x+sin(k+m)x)

Cos Kx*cos Mx=1/2 (cos(k-m)x+cos(k+m)x)

2) Интегралы вида ∫ cos^mx*sinⁿx dx, где m или n – нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.

3) ) Интегралы вида ∫ cos^mx*sinⁿx dx, где m или n – четное положительное число, вычисляются с помощью формул понижения степени:

Sin²α=1/2(1-cos2α); cos²α=1/2(1+cos2α); sinα*cosα=1/2sin2α

4) Интегралы вида ∫ tg^mx dx, ∫ctg^mx dx, где m принадлежит N, вычисляются заменой переменной tgx=z, x=arctgz, dx=dz/1+z² или ctgx=z, x=arcctgz, dx= -dz/1+z²

5) Интегралы вида ∫ R(sinx,cosx)dx сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной подстановки tg x/2=z, тогда x=2arctgz, dx=2dz/1+z², sinx=2z/1+z², cosx=(1-z²)/(1+z²)

4. Интегрирование простейших иррациональных.

Существуют 2 метода интегрирования иррациональных выражений: метод подстановки, метод интегрирования по частям. Способ рационализации иррациональных выражений заключается в том, что мы подбираем такую замену, чтобы наша иррациональная дробь стала рациональной.

Интегралы простейших иррациональных дробей:

Этот интеграл выражается через элементарные функции, т.к. подинтегральная функция всегда рационализируется следующей заменой:

5. Интегрирование дробно-рациональных функций

Функция вида P(x)/Q(x) , где P(x),Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией. Обычно, дробно рациональные функции интегрируются с помощью разложения на простейшие дроби.

6. Определенный интеграл Римана

Функция f(x) называется интегрированной по Риману на [a;b], если существует конечный предел , называемый определенным интегралом Римана. Обозначается:

Обозначаемый интеграл всегда число и не зависит от переменной интегрирования.

Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена