19. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.

Функциональным называется ряд, члены которого являются функциями u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= (1)

Областью определения ряда (1) называется область определения функции. Для каждой фиксированной точки х₀ из области определения ряда получаем числовой ряд: . Если этот ряд сходится, то х₀ – точка сходимости ряда (1), если расходится, то х₀ – точка расходимости ряда (1).

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Частичные суммы ряда (1) тоже являются функциями. Суммой ряда называется функция, определенная в области сходимости и определенная следующим образом:

Сходящиеся функциональные ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам сходящихся числовых рядов.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд   сходится равномерно.

2. 

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

2. Частичные суммы   ряда   равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .

2. Ряд   равномерно сходится.

20. Степенные ряды

Степенным называется функциональный ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿ+…= (1)

Теорема Абеля: если ряд (1) сходится в т.х₀, то он сходится абсолютно для всех х, таких что 0≤|x|≤|x₀|

О радиусе сходимости: пусть ряд (1) сходится не только при х₀, но и не на всей числовой прямой, тогда существует положительное число R, такое что для всех х принадлежащем интервалу от –R до R ряд сходится, и для всех х не принадлежащих отрезку от –R до R расходится, число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формулам:

1)

2) если существует предел =D, то R=1/D

Свойства:

1) Степенной ряд внутри интервала сходимости сходится равномерно

2) Суммой степенного ряда является функция, непрерывная внутри интервала сходимости

3) Пусть внутри интервала от –R до R степенной ряд сходится, тогда, для любого отрезка от 0 до х, принадлежащему этому интервалу, степенной ряд можно почленно интегрировать

21. Формула Тейлора. Разложение в ряды элементарных функций.

Если f(x) на интервале (x₀-R;x₀+R) разлагается в степенной ряд f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… (3), то это разложение единственно и коэффициент a_n вычисляется по формулам: ,

Этот ряд называется ряд Тейлора функции f(x).

Разложение в ряды элементарных функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

22. Применение рядов.

Числовые функциональные ряды применяются в приближенных вычислениях:

1) при решении дифференциальных уравнений

2) при приближенном вычислении интегралов

Вычисление значений функции с помощью рядов: пусть необходимо вычислить значение функции f(x) в т.х₀=х заданной точностью ; и пусть эта функция разлагается по степени (х-а) в интервале (a-R;a+R), х₀ принадлежит этому интервалу.

, тогда

Взяв достаточное количество членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с членом n.