7. Приложения определенного интеграла

1) Вычисление S плоских фигур

Пусть f(x)>=0 на [a;b] и непрерывна на нем. Вычисление S криволинейной трапеции= . Если же функция отрицательна на [a;b], то . Если же фигура ограничена функциями f(x) – сверху, g(x) – снизу, то

2) Вычисление объемов тел

, где S(x) – площадь сечения,

Если кривая задана параметрически и u’>0, то

3) Вычисление длины дуги кривой

Если кривая задана параметрически, то

Если дуга задана уравнением q=q(u), то

4) Вычисление площади поверхности вращения

8. Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальные уравнения – это одно или несколько уравнений с производными некоторых функций.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка: F(x,y,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), зависящая от х и произвольных постоянных, при подстановке которых дифференциальное уравнение обращается в тождество. Если решение ДУ задается в виде уравнения, не разрешенного относительно у, то его называют общим интегралом.

9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид: P₁(x)*P₂(y)dx+Q₁()*Q₂(y)dy=0

– ДУ с разделяющимися переменными

При решении ДУ произвольная заменяется y’=dy/dx

ДУ может быть представлено в виде: y’=F(x)*Q(y) dy/dx=F(x)*Q(y) Q(y)dy=F(x)dx

10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения

f(x,y) – однородное порядка m, если f(tx,ty)=t^mf(x,y)

Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется однородным, если M и N – однородные одной степени. Решаются такие уравнения подстановкой. После подстановки однородные уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции u. Затем, вспоминая что u=y/x, возвращаемся к переменной y.

Линейные ДУ 1-го порядка называются уравнения вида: y’+p(x)y=q(x) , где p,q – заданные, непрерывные на некотором отрезке функции. Решением линейного уравнения: y=u*v y’=u’v+uv’ u’v+uv’+p(x)*uv=q(x) u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

Чтобы скобка обратилась в 0: u’+p(x)v=0 dv/dx= -p(x)v ∫ dv/v = ∫ -p(x)dx ln|v|= -∫ p(x)dx v= e^-∫p(x)dx

U’v+0=q(x) u’ *e^-∫p(x)dx=q(x) u’=q(x)* e^-∫p(x)dx u=∫ q(x)* e^-∫p(x)dx

Y= (∫ q(x)* e^-∫p(x)dxdx+C)( e^-∫p(x)dx) – общее решение ДУ

11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнения вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=o называется уравнением полных дифференциалов, если левая часть представляет собой дифференциал некоторой функции F(x,y).

является уравнением полных дифференциалов

12. Некоторые типы ду, допускающие понижение порядка

1) y^(x)=f(x). Решаются n-кратным интегрированием

2)F(x, y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0 – отсутствует в явном виде

Y^(n-1)=p p=p(x)

Y⁽ⁿ⁾=dp/dx=p’ F(x,p,p’)

3) F(y,y’,y’’,…)=0 – отсутствует х в явном виде

13. Линейные ду с постоянными коэффициентами

1. Однородные линейные уравнения

Y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1y’+a_ny=0 (1)

Если у₁,…,у_n – линейно-независимые частные решения (1), то общим решением уравнения будет линейная комбинация.

Y_o.o=c₁y₁+c₂y₂+…+c_ny_n (2)

Система функций называется линейно-независимой, если их линейная комбинация равна 0 тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны 0.

Алгебраическое уравнение:

µⁿa₁µ^n-1+a₂µ^n-2+…+a_n-1µ+a_n=0 (3) называется характеристическим уравнением, соответствующее уравнению (1)

Возможны следующие случаи:

1) уравнение (3) имеет n-действительных корней, среди которых нет повторяющихся (µ₁,µ₂,…,µ_n), тогда y_i=e^µx – частное решение этого уравнения

Общее решение: y_o.o.=c₁e^µ1x+c₂e^µ2x+…+c_ne^µnx

2) уравнение (3) имеет действительные корни, некоторые из которых кратные

Пусть α-действительный корень кратности К, ему соответствует к-линейно-независимых решений

е^αх, хе^αх,…,х^к-1е^αх

3)всякой паре α+-β_i соответствует 2 частных решения.

Е^2хcos(βx) и e^2xsin(βx) и если они кратные, то смотри 2 случай

2. Неоднородные линейные уравнения

Y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…+a_n-1y’₊a_ny=f(x) (4)

Общее решение неоднородного уравнения (4) может быть представлено в виде суммы общего решения однородного уравнения (1), соответствующего ему и некоторого частного решения. Частное решение следует искать исходя из вида правой части уравнения методом неопределенных коэффициентов.