- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4. Интегрирование простейших иррациональных.
- •5. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •6. Определенный интеграл Римана
- •7. Приложения определенного интеграла
- •8. Дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения
- •11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •12. Некоторые типы ду, допускающие понижение порядка
- •13. Линейные ду с постоянными коэффициентами
- •14. Метод вариации произвольных постоянных
- •15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •16. Числовые ряды. Основные теоремы о сходимости
- •17. Положительные числовые ряды. Признак Коши и Деламбера.
- •19. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •20. Степенные ряды
- •21. Формула Тейлора. Разложение в ряды элементарных функций.
- •22. Применение рядов.
14. Метод вариации произвольных постоянных
Если правая часть не имеет специального вида, то используется метод Лангранджа (метод вариации произвольных постоянных)
Рассмотрим его. Пусть найдено yo.o.=c1(x)α(x)+c2(x)β(x). Полагаем, что c1=c1(x) и c2=c2(x). То есть y=c1(x)α(x)+c2(x)β(x). Продифференцируем и подставим неоднородное уравнение и получим, что последние 2 слагаемых = f(x), то есть для нахождения c1 и c2 необходимо решить систему:
Если правая часть представляет собой сумму 2-х функций, то необходимо решать 2 неоднородных уравнения, и сумма 2-х частных решений будет частым решением исходного уравнения
15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- нормальная система
Если правые части представляют собой линейные функции, то система называется линейной. Если правые части не содержат в явном виде переменных t, то система называется однородной, в противном случае неоднородной
16. Числовые ряды. Основные теоремы о сходимости
Пусть дана последовательность чисел а1,а2,а3,…,аn-1,an.Сумма этой числовой последовательности называется числовым рядом.
Сумма конечного число членов ряда S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3 … называется частичными суммами, если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся. Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд расходящийся и не имеет суммы.
Отбросим конечное число первых членов ряда и получим n-ый остаток ряда (rn).
Теорема: для сходящегося ряда предел остатка равен 0
Теорема «Необходимый признак сходимости ряда»: общий член сходящегося ряда стремится к нулю . Если же предел не стремится к нулю, то ряд расходится
Теорема: если ряд сходится и сумма его равна S, то ряд (где с – некоторая постоянная) тоже сходится и сумма его равна cS.
Теорема: если сходятся ряды и , и суммы их равны соответственно Sa и Sb, то ряд тоже сходится, причем сумма его равна Sa+Sb
17. Положительные числовые ряды. Признак Коши и Деламбера.
Положительным называется ряд, члены которого неотрицательны, то есть an≥0
Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху
Признак Деламбера: если члены последовательности ряда an таковы, что существует предел , то при D<1 ряд сходится, при D>1 ряд расходится, при D=1 требуется дополнительное исследование.
Признак Коши: если члены ряда an таковы, что существует предел , то при К<1 ряд сходится, при K>1 ряд расходится, при K=1 требуется дополнительное исследование.
18. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Ряд вида a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1an+… (1), где an≥0 называется знакочередующимся
Признак Лейбница: Если члены ряда таковы, что: 1)каждый следующий, меньше предыдущего; 2) , то ряд (1) сходится, причем сумма его последовательности меньше а1
Рассмотрим ряды с членами произвольных знаков (1), с каждым рядом можно связать положительный ряд, состоящий из модулей членов данного ряда (2)
Если сходится ряд из модулей (2), то сходится ряд (1)
Ряд (1) называют абсолютно-сходящимся, если ряд (2) сходится.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называют условно-сходящимся