§ 17.6. Математическое моделирование рпу методом статистических эквивалентов

Разновидности метода статис ческих эквивалентов. Метод экви лентов (при детерминированных в* действиях) или статистических , вивалентов (при случайных воздей виях) состоит в замене реального з: на радиосистемы или радиоустроЙ! ва математической моделью, явля щейся эквивалентом этого звена. П этом статистический эквивалент зве обеспечивает адекватность выходнс сигнала лишь в статистическом смь ле, с точностью до заданных статист ческих характеристик.

Существует ряд методов замер реального звена эквивалентом и ст тистическим эквивалентом: формул ный, статистической линеаризаци гармонической статистической лине

нзации, генерации, фильтрации ин-ормационного параметра и др.

формульный метод редусматривает моделирование вы-одного случайного сигнала т] (г) иро-звольного звена в соответствии с налитической формулой связи с вход-ым случайным воздействием | (/) 1 общем случае векторным):

(0 = АШ'>}- (17.54)

При этом методе выходное воздей-гвие будет иметь необходимые ста-4стические свойства всякий раз, ког-а правильно (как в реальной задаче) удут заданы статистические характе-истики входного воздействия £ (г), формула (17.54) выбрана достаточ-о достоверной.

Метод статистичес-о й линеаризации [51 рименяется для моделирования низ-очастотных нелинейных звеньев пу-;м их замены линейным статистиче-<им эквивалентом (по математическо-у ожиданию т_ц и флуктуации г|° = = г| — т_п). В этом случае модель равильно воспроизводит лишь магматическое ожидание и простейшие гатистические характеристики (дис-ерсию, корреляционную функцию) ыходных флуктуации т)° (г).

Метод гармонической татистической линеа-и з а ц и и [5] является распро-гранением предыдущего метода на елинейные радиозвенья.

Метод генерации сво-ится к замене реального звена с вы-одным воздействием

генератором адекватного в статистическом смысле случайного процесса с точностью до заданных статистических характеристик. Для этого заранее аналитически находят статистику I (t) и сам сигнал s (г) и в модели с помощью ЭВМ производят их «генерацию» по исходным статистическим характеристикам входных воздействий | (t). Метод генерации наиболее удобен для моделирования крупных радиозвеньев или радиоустройств чаще разомкнутого типа.

Метод фильтрации информационного параметра заключается в замене реального нелинейного звена с выходным сигналом

(17.56)

зависящим от информационного параметра A (t), эквивалентным звеном, формирующим статистически эквивалентный сигнал

(17.57)

из самого информационного параметра А (/) с добавлением некоторого эквивалентного шума Е_нк (/). При этом функционалы F (/) и G (t) обычно существенно отличаются друг от друга. Данный метод применяют, как правило, для формирования математических моделей звеньев (в частности, дискриминаторов) следящих радиоустройств.

Примеры моделирования РПУ фор-, мульным методом. Рассмотрим один из примеров.

Пример 17.5. Математическая модель типового РПУ. Рассмотрим вновь структурную схему РПУ

рис. 17.8 и возьмем за основу ее математическую модель рис. 17.14 (метод комплексной огибающей). Упростим эту модель путем объединения однотипных элементов и получим исходную модель рис. 17.15. Найдем систему алгоритмов описания функционала (17.54):

Эту систему уравнений можно представить совокупностью «математических блоков», выбранных относительно произвольно и не связанных со звеньями на рис. 17.15 [5]. Часто подобные модели используют для расчетов (методом Монте-Карло) отдельных реализаций выходных сигналов т] (t). Тогда к модели, полученной формульным методом, добавляют блок расчета статистических характеристик на выходе РПУ, в частности: математического ожидания < r| (t) >£_^₀, — = <Т] U)>_{E = 0}, сигнала s (/) = = т„ (/) — т_Цг (а), помехи £(0=1 W —

— s (/), дисперсии помехи of = <(ii —

— ^т_ч)²>, отношения сигнал/помеха q (t) =

= s² (/)/2of «).

Примеры моделирования методом генерации. Пусть, например, поставлена задача смоделировать выходное напряжение ц (t) = s (t) + £ (0 типового РПУ рис. 17.8 при входной смеси

х (0 - "2 U) = и_в (0 + «„ (0 + и_ш W-

Тогда для создания модели статистического эквивалента методом генерации вначале надо найти алгоритмы:

_S(0 = s|_f, Q_c(0- Q_n(0. QnAt), Q_CM(0],

(17.58a)

Qt(t) = <hit, Q_c(t), Q„(t), Q_m(t),

QcmWI. (17.586)

где Q_c, Q_u, Qm, Q_CM — статистические параметры сигнала, помехи, шума, смеси соответственно, a Qj — статистические параметры выходных флуктуации.

На основе полученных формул можно построить статистический эквивалент (рис. 17.16), в котором на выходе генерируются составляющие смеси под заданную статистику Qi (t). рассчитываемую в модели по формулам (17.58). Статистические характеристики Q_c, Q_u, Q_m, Q_CM случайных процессов и_с, и_л, и_ш, и₂ в модели можно найти как аналитически, так и методом Монте-Карло.

Пример 17.6. Математическая модель РПУ с амплитудной модуляцией. Найдем методом генерации статистический эквивалент типового звена РПУ, состоящего из трех последовательных звеньев: линейного радиоусилителя (ЛРУ) с резонансным усилением К_м = К_в (/ш₀) и эффективной полосой Д/_в; квадратичного детектора с коэффициентом передачи К_кв, линейного низкочастотного усилителя (ЛНЧ) с усилением /Сно на постоянном токе и эффективной полосой AF_H » Д/в'2-

Входную смесь постулируем в виде суммы Uj.. = «ci + "mi АМ-сигнала u_ci = E_ei (t) cos (со„/ — ф₀) и белого гауссова шума со спектральной плотностью G₀-Найдем зависимости (17.58) методами статистической радиотехники.

На входе детектора будет присутствовать смесь АМ-сигнала н_с (/) = £_с (/) cos (со₀/ — ф„); £_с = К во Е _с

(искажения сигнала в ЛРУ не учитываем)

и узкополосного гауссова шума «_ш С) — = /? (О cos \щ( — 6 = А (/) cos со„/ + + В (I) sin щ1. Статистические характеристики этого шума равны: о² = G₀Kl₀&f_n,

^га <^т> = ^гв (^Т) = °^2гЛ' <^Т>' ^ГЛВ (^Т) =

— — г_вд (т) - 0 (резонансная кривая ЛРУ симметрична), где г (•) — корреляционные и взаимнокорреляционные функции.

Считая квадратичный детектор идеальным, запишем напряжение смеси на его выходе: т)о (0 ⁼ ^кв£² (0 = Ккп ^х X {£§ (0 + А* (0 + В² (О -ь 2£_с (О X X \А (/) cosifo + В (г) sin^₀]}.

При выбранном широкополосном ЛНУ смесь ц = s ь £ на выходе типового звена будет состоять из сигнала s (/) = /С_кв X X K_mEl (t) и видеошума £ (0 = Л (/) —

- 1я_ч (/) = 2/С„_в /С„о £с (/) М (0 cos ф₀ + + В (/) sintyg]. Статистические характеристики этого шума равны: = 0, о² (/) — = (2/С_кв/С„₀о)² £_с^г (/), «5 (/, т) = <Е (О X X | (/ + т)> = (2К_тК_т а)² £| (0 Гд, (т).

Приняв <?_с (/) = £_с (*), Qn. = lo²,

^rjv(^T)]. On ™ 9см ⁼ °. придем к СЭ рис. 17.16.

Примеры моделирования узлов РПУ методом фильтрации информационного параметра. Этот метод чаще всего применяют для нахождения СЭ дискриминаторов (Д) в типовых следящих радиотехнических устройствах (рис. 17.17).

Информационным параметром X (г), за которым следит схема, является любой из параметров входного радиосигнала х I/, X (/)].

Измеренным (отслеженным) па-

раметром является оценка X (г) — информационный параметр опорного

радиосигнала у \t, X (г)], вырабатываемого в процессе слежения с помощью генератора, управляемого напряжением (ГУН), управляемого (по параметру X) управляющим напряжением и_у (г). Последний формируется с помощью дискриминатора (Д) и сглаживающей цепи (СЦ).

Дискриминатор вырабатывает напряжение г (е, t) = F_t {х (t, X),

у (/, X)} = L_H4 (е), соответствующее нечетной функции от сигнала ошибки:

(17.59)

Выходом следящей схемы рис. 17.17 может служить либо опорный радиосигнал у (/, X), либо изме-

репный параметр X (t).

Примером следящего РПУ рис. 17.17 служит схема фазовой автопостройки (ФАП) рис. 17.18, в которой в качестве дискриминатора применяется простейший фазовый детектор (коррелятор), состоящий из перемножителя (коэффициент перемножения Ком) и формирующего звена (ФЗ), пропускающего без искажений с единичным усилением полосу биений сигнального х (t, X) и опорного у (t,X) напряжений.

Другим примером следящего РТУ рис. 17.17 может служить оптимальный демодулятор рис. 11.18 с оптимальным дискриминатором (ОД) в виде схемы рис. 11.14, работающей от двух опорных сигналов:

(17.60)

В рамках метода фильтрации информационного параметра схему рис. 17.17 стремятся свести к модели в виде петли автоматического регулирования (рис. 17.19) с входным воздействием X (t). Модель дискриминатора

г,„ (е,0 = F, {г = V— X} на-

зывается статистическим эквивалентом на основе метода фильтрации информационного параметра.

Обобщенные статистические эквиваленты дискриминаторов. Достаточно общую теорию построения статистических эквивалентов дискриминаторов разработали И. А. Большаков и В. Г. Репин [121. Суть ее сводится к следующему.

Запишем выходное напряжение произвольного дискриминатора в схеме рис. 17. 17 в общем виде z (е,г) =

=* F, {х (/, к), у (г, к)} = т_г (г, 0 + 1(0.'где/и. (е, 0=<г(еД)>— математическое ожидание случайного процесса z (е, 0. a l(t) = = z°(e, 0 — ^его флуктуация. Если найдена (путем статистического анализа) корреляционная функция R. X X (т, е, 0 = < 2° (е, 02° (е, t + + т) >, то можно определить нестационарную спектральную плотность этого процесса:

В частном случае, когда про z (е,0 — стационарный, имеем

Это соответствует статистическ эквиваленту рис. 17.20, б. Здесь четная функция а (е) = т_г (е) и; вается дискриминационной харш ристикой (ДХ), а четная функ b (е) = Y~N (е) — флуктуацион характеристикой (ФХ). Ли1 ный участок ДХ в области |е|-

•s da(e) / имеет крутизну К_а = ^- \

При этом параметр е считают постоянным. Тогда процесс £ (0 аппроксимируют белым шумом со статистическими характеристиками R₂ (т,е, 0 = N(e, 0 б (т), N(e,t) = = N_z (0, е, 0- Сделанное допущение позволяет переписать напряжение z (г, 0 в виде

(17.61)

где 1\ (0 — белый шум с единичной спектральной плотностью.

Алгоритму (17.61) соответствует статистический эквивалент (рис. 17.20, а), от которого требуется статистическая адекватность процессов z (е, 0 ^{й г}эк (е, 0- Чаще всего ограничиваются равенством математических ожиданий и корреляционных функций.

В линейном режиме слежения (|е| С 1) математическую модель СЭ (рис. 17.20, б) линеаризуют:

Если теперь белый шум £ (спектральная плотность Л/| = Л/₀ + Л/₂е²) разбить на сумму двух независимых шумов |j (спектральная плотность A/ji = N₀) и 1₂ (спектральная плотность Nit = Л^е²), то г_эк (е,0 можно представить в виде линейного статистического эквивалента рис. 17.20, в с алгоритмом

Здесь _Чэк (г) — мультипликативный (параметрический) белый шум со спектральной плотностью Л\,э_К = = N₂IК\, а |_эк — аддитивный белый шум со спектральной плотностью N_Uk - NJKI

Примеры нахождения статистических эквивалентов дискриминаторов в присутствии неинформативных шумовых помех. Рассмотрим примеры нахождения СЭ дискриминаторов, когда во входной смеси ы_г = и_с + + и_ш присутствует лишь шумовая помеха и_ш (t), не имеющая информативного параметра.

Примеры 17.7. Статистический эквивалент фазового дискриминатора рис. 17.18. Определим входную смесь

где Ф_с (/, X) — ш_с / — X, Ф_ш (t) = ш₀1 — — 0 — полные фазы, а X = ф_с (/) — фазо-.вый информационный параметр.

Опорное напряжение от ГУН постулируем в виде

Введем коэффициент усиления К (/) = = 0,5/(_пм-£_г (t) и расстройки несущих частот сигнала, шума и генератора: Дсо_с — ■

— ш_с — ш„. А<о_г = со_г — 1л_щ< Дш = <о_г -

— Ф_с- Тогда получим решение для искомого статистического эквивалента:

(17.64)

Здесь введен сигнал ошибки (разность полных фаз сигнального и опорного напряжений на входах дискриминатора):

(17.65)

где Х_с (t) = ф_с (/), Х_г (/) - k (t) - Д«о< + + ф_го (/) - л/2.

Флу ктуационная шумовая составляющая" £ (г) = R (t) sin [6 (0 + ф (01 = = В (t) cos ф (/)-+- A (t) sin ф (t) зависит от компонент А (/), В (/) входного шума и фазы ф (0 = Д<о_г / — МО + (я/2) —

- Ч>го (0-

Алгоритмам (17.64), (17.65) соответствует статистический эквивалент рис. 17.21,а. Как показывает статистический анализ, при широкополосном входном шуме (спектральная плотность G_m (/)) процесс £ (0 в СЭ (17.64) можно аппроксимировать белым шумом со спектральной плотностью G_t (/) = 2G_U, (/_г), где fx — частота ГУН, изменяющаяся в процессе слежения.

На рис. 17.21,6 представлен другой вариант СЭ [5], который получается из предыдущего, если шум £ (/) переписать в виде I (0 = I (е, /) = l_s (0 sin t (t) +

+ |e (0 cos e (0, где g, (t) = В (t) * J X

С

x[X_c (0-До>_с/1 ± A (0 ^ IX_C (0 -ДМ-

Статистический анализ показывает, что белые шумы £_в, £_с статистически независимы и имеют одинаковую спектральную плотность 2G_m (/_с). Так как частота /_с = = const, эта спектральная плотность в процессе слежения не меняется и может быть вычислена заранее. Статистический эквивалент рис. 17.21,6 линеаризуется (|е| < <С 1) и сводится к схеме рис. 17.20, в, где Кщ = К (f)E_c (0, чэк = Ь/Ес =

- УЕ_С.

Пример 17.8. Статистический эквивалент оптимального дискриминатора в оптимальном демодуляторе. Найдем СЭ оптимального дискриминатора рис. 11.14, когда на его входе действует смесь произвольно-модулированного сигнала и белого нестационарного гауссова шума: х (t, X) = и_с (I, иш (0 = Re X

X £_Q (/, X) е^/0>с j - п (0 со спектраль-

ной плотностью N„ (/). Запишем опорные сигналы через комплексные огибающие:

Тогда для низкочастотного выходного эффекта ОД г (г, t) = |2/V₀ (г)]-¹ у₂ (tД) X

X \х (/, А.) — у, (/, X)] в полосе ФЗ можно получить решение г (е, /) = г_с (е, г) -f Н £ (/). где г_с (е, 0 = К U) Re {(<Э£_С(/.

к)1д~к) |£* (/, X) — £с (/, Здесь » —

индекс комплексного сопряжения и введены сигнал ошибки (17.59) и коэффици-ет передачи К (О \2N₀ (0l^_1- Эквивалентный белый шум в СЭ J (г) имеет спектральную плотность /Vg (/) = К (01

|<Э£₀ (/, Х)/дк\*.

Дальнейшая конкретизация решений зависит от вида модуляции. Так, при амплитудной модуляции, когда £_с (/, X) = . = £_с0 (I + >.) е^-/*^с0; дЕ_с (/, Т)/<ЭХ = £_со е ^/1*'^с», имеем линейный СЭ вида рис. 18.20, в: г (г, 1) - /С_д (/) [е (/) +

С (01. где /С_д (0 = £c²o/2/V₀ (0 = — P_cnfN_a (/), £.= |//С_д — белый шум со спектральной плотностью (t) = /Сд ¹ (/).

В случае фазовой модуляции имеем СЭ в виде z (f, 0 = /Сд (/) [sin е (/) -[ £ (/)].