§ 11.3. Оптимальная нелинейная фильтрация сообщений

Задача фильтрации и методы ее решения. Задача фильтрации является важнейшей составной частью статистической теории оптимального радиоприема сообщений. Сущность задачи фильтрации ясна из рис. 11.11,а. Здесь наблюдаемый процесс

х (t) является аддитивной смесью сигнала и_с It, X (г)] и шума и_т (г). В задачах оптимального приема функцией X (t) считают сообщение, или модулирующую функцию узкополосного сигнала, например: и_с It, X (t)\

X (t) cos [ы„ t — ф_п| — амплитудная модуляция, U_n cos I 0)_п/

— X (t) — ф₀] — угловая модуляция. В задачах измерений в радиолокации, радионавигации, радиоуправлении под функцией X (t) понимают физическую величину (дальность, скорость, пеленг), подлежащую измерению. В задачах вторичной и третичной обработки информации в радиотехнических системах различного назначения под функцией X (t) подразумевают само сообщение, т. е. полагают, что х (t) = X (t) + и_т (t).

Задачей оптимального фильтра (ОФ) (рис. 11.11, а) во всех этих случаях является наилучшее (в рамках заданного критерия оптимальности)

выделение оценки сообщения X {t) или какой-нибудь функции от нее

Если сигнал является линейной функцией от сообщения . и_с (t, X) —

— X (X), то фильтрация называется линейной, а сам ОФ синтезируется в классе оптимальных линейных фильтров (ОЛФ). К оптимальной линейной фильтрации относится амплитудная демодуляция, когда и_с (t, X) = = k (t) X (t), где k (t) = cos (м„/ —

— ф₀) — известная функция време-НИ- Фильтрация сообщения из смеси i х (t) — X (t) -j- и_ш (t) также является линейной и приводит к хорошо йз-

вестным ОЛФ Винера, Калмана — Бьюси и согласованным фильтрам.

Если зависимость u_c(t, Я) = § (X) — нелинейная (как при угловой: фазовой, частотной демодуляции), то I фильтрация считается нелинейной, а . ОФ рис. 11.11, а синтезируется в -классе оптимальных нелинейных фильтров (ОНФ).

Все перечисленные задачи целесо-| образно рассматривать с единых мате-' матических позиций как задачи о п-|т и м а л ь н о й нелинейной фильтрации, сводящиеся к оптимальной оценке функции времени

'.Я, (г), закодированной (в общем случае нелинейно) в наблюдаемом процессе х (f). При этом упомянутые задачи оптимальной линейной фильтрации (в том числе задачи Винера и Калмана — Бьюси) будут вытекать из этих решений как частные случаи.

Известны два методических подхода к решению задачи оптимальной нелинейной фильтрации [12].

1. Ф о р м и р о в а н и е текущей оценки. Здесь задания фиксированного интервала наблюдения О, Т (рис. 11.11, б) не требуется

и оценка X (/) вырабатывается непрерывно для любого текущего момента времени /е=7\ Это эквивалентно формированию оценок на переменном (текущем) интервале наблюдения О,/. При этом применяется классический байесов подход из теории оценок векторных параметров X (см. § 11.2), сущность которого сводится к следующему.

Путем дискретизации по времени с шагом At функция X (г) на текущем интервале 0, t, == iAt (рис. 11.11, б) заменяется векторной случайной величиной Xi = \Х_г, Xj == (X (iAt)], а наблюдаемый процесс х (t) — векторной выборкой Х| = lx_lt Xt = — х (iAt)]. Теперь задачу оценки функции X (t) на интервале 0, / можно заме'нить задачей оценки векторной случайной величины X_t, закодированной в наблюдаемом процессе х (t). Эта задача в байесовой постановке решалась в§ 11.1, 11.2. Здесь в качест-

^Я Зяк. lohS

ве оптимальной оценки X_t = [Я,, ...

Я,] целесообразно брать характерную точку (моду, медиану, центр тяжести) многомерной апостериорной плотности вероятностей;

p(Xi) = p(X_i/\_i) = p(X_l, .... Я,/*,, ...

-., x_i) = k_ip(X_t)p(X_i/X_i) =

= kp(X_l)L(X_l). (11.37)

Р. Л. Стратонович предложил использовать для вынесения оптимальной текущей оценки так называемую финальную одномерную апостериорную плотность вероятностей, связанную с (11.37) интегральным соотношением

Если, например, в качестве оптимальной оценки выбрать центр тяжести функции (11.38), то оценка примет вид

(11.39)

Для получения следящих алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации необходимо составить рекуррентные уравнения, связывающие для двух гиседних выборок ti, t_i+l либо финальные апостериорные плотности вероятностей (11.38), либо сами оценки (11.39).

Первый метод использовал Р. Л. Стратонович. На основании допущения о марковости сообщения Я(/) ему в 1959—1960 гг. удалось найти рекуррентное уравнение для финальных апостериорных плотностей вероятностей (11.38), которое при предельном переходе At —*■ 0 привело к интегродифференциально-

Рис. 11.12

му уравнению для плотностей вероятностей W {X, t) - lim W (X,, t_t).

Это уравнение называется уравнением оптимальной нелинейной фильтрации (по Стратоновичу).

Примерно в это же время, используя допущение о гауссовости сообщения X (О, И. А. Большаков и В. Г. Репин нашли рекуррентную связь

оценок (11.39) X_j+], X_t непосредственно. В предельном случае А/ —>- 0 эти рекуррентные уравнения свелись к интегродифференциальным уравнениям фильтрации из смеси х (г) не-

посредственно сообщения X (t) =

lim =- «ДО-

Марковская теория оптимальной нелинейной фильтрации (по Стратоновичу) свелась в общем случае к структурной схеме ОНФ, показанной на рис. 11.12. Схема содержит оптимальный Прм и решающее устройство (РУ). Первый путем решения уравнения оптимальной фильтрации формирует текущую финальную апостериорную плотность вероятности W (X, t). Решающее устройство формирует оценку X (0 в виде ее моды или центра тяжести. Преимуществом марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации является возможность ее использования для негауссовых сообщений а (0 и шумов и_ш (0, что часто встречается в практических приложениях, в частности при приеме сигналов на фоне сильных шумовых помех.

Гауссова теория оптимальной нелинейной фильтрации (по Большакову и Репину) дает конкретную структуру ОНФ, формирующего непосредственно оценку X (t) из

наблюдаемого процесса х (0, минуя стадию вычисления финальной апостериорной плотности вероятностей. Требование гауссовости апостериорных плотностей вероятностей (11.37), (11.38) существенно снижает практическое применение этой теории. Как правило, ее используют в теории приема или высокоточных измерений в гауссовом шуме, когда исходные ограничения соблюдаются.

Тем не менее следует заметить, что марковская теория оптимальной нелинейности фильтрации дает физически наглядные результаты лишь в случае гауссовой аппроксимации финальной апостериорной плотности вероятностей (11.38). Этот частный случай так называемой квазиоптимальной теории нелинейной фильтрации, развитый В. И. Тихоновым 1301 и его учениками, приводит к структурным схемам ОНФ, близким к схемам, вытекающим из гауссовой теории.

2. Формирование оценки «в целом». Другой методический подход к оценке функции времени X (0 на интервале наблюдения 0, Т. предложенный Г. Ван-Трисом l.VM, Э. Витерби и рядом других авторов, сводится к следующему. Исходным допущением, как и в теории Большакова, Репина, является гауссовость сообщения X (0- Это позволяет аппроксимировать его каноническим разложением Карунена — Лоэва [301:

(11.40)

Здесь А = [а_ь a_r.....a_h\ — нормально-распределенная векторная случайная величина с взаимно-некоррелированными компонентами а_Г.

Детерминированные ортогональные функции if_r(0 выбирают по заданной корреляционной функции сообщения #_х (г, т) = < X (0 X (t + т)>. Применение канонического разложения переводит всю реализацию X (0, заданную «в целом» на интервале, наблюдения 0 < / < Т, в функцию слу-

чайного параметра А. т. е. Я (/) = =Я(г, А), / £ О, Т. Это позволяет свести задачу оценки функции Я (г) «в целом» на всем интервале наблюдения О, Т к задаче оценки векторной случайной

величины А= [а_ь а_г, а_к].

Получив оценку А, нетрудно восстановить искомую оценку сообщения:

X(t) = limX(t), X (t) = К (t. А) =

(11.40а)

Принципиальное отличие такого подхода — невозможность использования текущей оценки. Здесь теоретически оценка А может быть вынесена лишь один раз, после окончания времени наблюдения t Т. Тогда восстановление оценки но алгоритму (11.40а) будет происходить в нереальном масштабе времени при ОТ. В результате возникает структура следящего ОНФ с нереализуемыми (в аналоговом виде) звеньями. Однако структурные схемы ОНФ в рамках данного подхода проще, чем при оптимальной нелинейной фильтрации с текущими оценками.

Ниже рассмотрим и сравним структурные схемы ОНФ, вытекающие из марковской и гауссовой теории с текущими оценками, а также гауссовой теории с оценкой «в целом».

Марковская теория оптимальной нелинейной фильтрации с текущей оценкой. В самом общем случае, как показал Р. Л. Стратонович, теория оптимальной нелинейной фильтрации применима тогда, когда взаимно-зависимые процессы х (/), Я (t) совместно образуют многомерный марковский процесс. При этом каждый из них — не обязательно марковский. Однако в практических приложениях теории оптимального приема 1301 наиболее распространен частный случай, когда Я (t) — простой марковский процесс диффузионного типа, а шум u_m (t) — белый гауссов шум со спектральной плотностью N „. Рассмотрим этот случай

подробнее, используя описанную м тодику формирования текущей оценки.

Для любого простого марковского процесса основной статистической характеристикой является вероятность перехода р (Я₍₊,/Я;), через которую записывается многомерная априорная плотность вероятностей:

P(h) = p(K.....К. К+х.....Я,-) =

= р(к_]) П р(К+./Ю- (П.41)

Допущение гауссовости белого шума позволяет представить (см. § 11.2) функцию правдоподобия в (11.37) н виде

(11.42)

где введена функция, связанная с

функционалом правдоподобия

,f [Я(/)| = р \х (/)/Я (t)\ соотношением

(11.43)

Подставив (11.41), (11.42) в (11.37), запишем апостериорные плотности вероятностей для двух соседних выборок:

откуда следует рекуррентная формула р (Я_г+1) - с,₊, р (ki) р (*.( + ,/*.,) /. X X (a,_<+,)/Z. (Я,). Подставив это выра-

жение в (11.38), после интегрирования получим рекуррентную формулу для финальной апостериорной плотности вероятностей:

Коэффициент пропорциональности Cj ₊ , вычисляют из условия нормиров-

Для получения алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации при аналоговом приеме в формуле (11.44) обозначают л_; л (г) к, Х,₊₁

к (t -\- At) — Л (/ 4- т) к_х и переходят к пределу At—<-0. При этом используется дифференциальное уравнение для вероятности перехода р (л,/Х) простого марковского процесса, называемое уравнением Фок-кера — Планка — Колмогорова I30J;

называются соответственно коэффициентами сноса и диффузии. При этом статистическое усреднение производится по л_т при к = const, например:

X р (Ах/Х) dki. В результате из (11.44) вытекает следующее уравнение оптимальной нелинейной фильтрации (по Стратоновичу):

Здесь введена функция (11.43) и ее статистическое среднее по финальной апостериорной плотности вероятностей

В качестве начального условия уравнения фильтрации используется априорная плотность вероятностей начального значения сообщения р (к, t 0) = р,„.\к (0)1 при / = 0.

Первые два слагаемых в (11.47), эквивалентные правой части уравнения Фоккера — Планка -— Колмогорова (11.45), обязаны своим происхождением априорным сведениям о вероятности переходов сообщения к (г). Они влияют на апостериорную плотность вероятностей W (к, t), приводя ее к расширению с течением времени (увеличению неопределенности). Последнее слагаемое действует в обратном направлении (приводит к уменьшению неопределенности) за счет вновь приходящей информации, заложенной в функции правдоподобия.

Уравнение фильтрации (П-47) решается в оптимальном приемнике схемы рис. 11.12.

Следует отметить, что конкретный вид коэффициентов сноса и диффузии '

(11.46), их линейный или нелинейный характер зависят от принятой модели сообщения X (г) [30].

В табл. 11.1 приведены некоторые частные случаи простых марковских процессов диффузионного типа и выписаны их коэффициенты сноса и диффузии. Все эти процессы формируются из белого шума и удовлетворяют определенным стохастическим дифференциальным уравнениям, которые можно также представить в виде соответствующих структурных схем.

Перейдем к алгоритмам квазиоптимальной фильтрации в гауссовом приближении. Для этого постулируем финальную апостериорную плотность вероятностей в виде закона нормального распределения:

(11.49)

Математическое ожидание Х₀ (/)

совпадает с оптимальной оценкой X (t)

в схеме рис. 11.12, а о'{ (t) = D (t) соответствует дисперсии этой оценки и характеризует потенциальную точность оптимальной нелинейной фильтрации.

Подставим (11.49) в уравнение (11.47) и пренебрежем высшими производными а<и> = d^(|i)<H к , t) ^ _ dk*

b(l, t) ₀ _

= ■-й-- при и > 2. Тогда полу-

дк»

чим два дифференциальных уравнения оптимальной нелинейной фильтрации для процессов k(t), D (t):

(11.50)

Рис. 11.13

Здесь а' (к, t) d а (X, t)/dk и введены две функции, связанные с функцией (19.43) соотношениями

Штрихи указывают номер произ-

водной функции u_c\t, к (:)] по X (/).

Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации (11.50) реализуются с помощью структурной схемы рис. 11.13. Она состоит из пяти блоков.

Первый блок, который называют 113) оптимальным дискриминатором (ОД), в соответствии с алгоритмом (11.51) формирует выходной эффект г (г)- Структурная схема ОД показана на рис. 11.14. Входным напряжением является напряжение смеси х (/) = и_с I/, X (01 + и_ш (t). Для работы ОД требуются первые два из трех опорных напряжений:

Таблица 11.1

Тип марковского процесса Я (/)	Стохастическое дифференциальное уравнение	Схема формирования процесса	Коэффициент сноса а а. п	и диффузии Ь (Я., о
Винеровский процесс			0	0
Нормальный процесс с экспоненциальной корреляцией
Обобщенный марковский диффузионный процессе
Рэлеевский марковский процесс

Рис. 11.14

вырабатываемых вторым блоком — генератором опорных напряжений (ГОН) на основе обратной связи по

оценке X (г).

Третий блок, называемый обычно блоком точности (БТ), формирует в качестве выходного эффекта функцию К (0> определяемую алгоритмом (11.52). Структурная схема БТ показана на рис. 11.15. Для его работы требуются три опорных напряжения (11.53).

Остальные два блока являются оптимальными нелинейными фильтрами. Первый из них (ОНФх) в соответствии с алгоритмом (11.50а) из входного напряжения г (t) и двух выходных эффектов X {t), D (г) формирует искомую оценку X (t). Структурная схема ОНФ*, показана на рис. 11.16. Нелинейность этого фильтра задается в общем случае нелинейной зависимостью а (X), реализуемой с помощью безынерционного нелинейного элемента (БНЭ): Лишь в частном случае (см. табл. 11.1, строка 2) гауссова марковского сообщения X (t) фильтр становится линейным. Второй оптимальный нелинейный фильтр (ОНФ„) в соответствии с алгоритмом (11.50 б) из входного напряжения К (t) и двух выход-

ных эффектов X (i), D (t) формир

выходной эффект D (t). Структур! схема ОНФ₀ несколько сложнее с мы ОНФ), (см. рис. 11.16).

Конкретный вид опорных нап жений (11.53) существенно влияет структуру ОД и БТ и определяе видом модуляции. В табл. 11.2 п ведены опорные напряжения для р личных видов модуляции. Структ; ОНФх, ОНФ₀ зависит в основном статистической структуры сооб: ния X (г), т. е. от вида коэффицен сноса и диффузии, приведенных табл. 11.1.

Конкретные примеры ОНФ, текающих из марковской теории тимальной нелинейной фильтраи приведены в гл. 15.

Гауссова теория оптимальной линейной фильтрации с теку! оценкой. Если в смеси х (г) = и х|г, X (г)] + и_шЦ) сигнала с бе. гауссовым шумом сделать допущет что сообщение X(t) является гау< вым с нулевым математическим о; данием < X (/) > = 0 и задан корреляционной функцией R%. (t, 1 = < X (t) X (т) >, то многомер; апостериорный закон распределе (11. 37) можно записать в явном bi используя по-прежнему функ: правдоподобия (11.42). Найдя в ном виде плотности вероятно» (11.37), (11.38) и оценку (11. Большакову и Репину уда; получить рекуррентное уравне]

^—-

связывающее оценки Х_г+1 в со ние моменты времени. В резулк предельного перехода t\t -*■ 0 б

Таблица 11.2

получено уравнение оптимальной нелинейной фильтрации:

(11.54)

Здесь функции z (t), К (t) по-прежнему определены формулами (11.51), (11.52), а функция с (/, т) является решением интегрального уравнения

Это соответствует д в у х п е т-левому варианту ОНФ, который рассматривать не будем.

Если ввести новую функцию g (/, т), определяемую интегральным уравнением

и косвенно зависящую от корреляционной функции R), (г, т), то алгоритм (11.54) примет вид

(11.57)

Алгоритмы (11.55) — (11.57) определяют структурную схему одно-петлевого варианта ОНФ, показанную на рис. 11.17. Она состоит из четырех блоков. Блок оптимального дискриминатора (ОД),

блок точности (БТ). генератор опорных напряжений (ГОН) не отличаются от соответствующих блоков ОНФ рис. 11.13. Отличие схемы рис. 11.17 состоит в том, что в ней присутствует один оптимальный фильтр (ОЛФ), являющийся принципиально линейным (следствие гауссовости сообщения), нестационарным и самонастраивающимся в процессе приема от управляющей функции К (/), вырабатываемой блоком точности. Для формирования требуемой импульсной характеристики g (/, т) ОЛФ должны непрерывно решаться интегральные уравнения (11.55), (11.56). Таким образом, в ОНФ рис. 11.17 в отличие от ОНФ рис. 11.13 на выходе характеристика потенциальной точности

фильтрации D (/) oj_ (/) не вырабатывается. Однако, как показали Большаков и Репин, в схеме рис. 11.17 она определяется формулой

D(/) о; U) = i>tt, t) c(t, I). (11.58)

Это означает, что блок формирования (БФ) выходного эффекта Ь (г) можно реализовать и в схеме рис. 11.17 (показан пунктиром), для чего путем решения интегральных уравнений (11.55), (11.56) в нем должны формироваться частные значения g (/, /) или с (?, /) соответствующих импульсных характеристик g (/. т) или с (/, т). Схемы ОНФ рис. 11.17, 11.13, вытекающие из гауссовой и марковской теории (в гауссовом приближении), практически идентичны и отличаются лишь структурой выходных сглаживающих фильтров.

Из формулы (11.52) следует, что выходной эффект блока точности К (/) является функцией «б ы с т-р ы х»I за счет входного белого шума

U)\ и «медленных» |от низкочастотных процессов >. (/) и /. (/)1 флуктуации. Усредняя Л' (/) по быстрым флуктуаииям, получим </С (0>м_П1

/<„ - 2Р₍. Л'„ const

В этом случае надобность в блоке точности для формирования оценки к (t) отпадает и схемы ОНФ рис. 11.13, 11.17 принимают более простой вид (рис. 11.18). Правда, при подобном допущении о медленности входных флуктуации не удается сформировать на выходе характеристики потенциальной точности

D (/), но в этом обычно нет необходимости. Важно отметить, что при таком подходе от ГОН требуется формирование только двух опорных напряжений вместо трех.

Гауссова теория оптимальной нелинейной фильтрации с оценкой в «целом». При использовании методического подхода с каноническим разложением (11.40) и оценкой «в целом» по формулам (11.40а) можно прийти 1301 к следующему алгоритму оптимальной нелинейной фильтрации гауссова сообщения к (t) из аддитивной смеси х (t) - u_c\t, к (t)\

и_ш (/) с гауссовым белым шумом:

(11.59)

Здесь функция z (/) определена формулой (11.51), a R\ (/. т)

< к Ц) к (т) > есть корреляционная функция сообщения.

Схема ОНФ, реализующая алгоритмы (11.59), (11.51), не отличается по структуре от схемы ОНФ рис. 11.18, вытекающей из гауссовой и марковской теории при допущении медленности флуктуации. Однако есть принципиальное отличие в оптимальном сглаживающем фильтре, формирующем из функции z (г) искомую

оценку к (/), Так, ОЛФ с импульсной характеристикой h (/, т) R;.(t. т) в алгоритме (11.59) принципиально иг реализуем (в аналоговом виде).

поскольку любая корреляционная функция Rx (t, т) не удовлетворяет условию физической возможности h (t, т) = 0 при т < t. Однако в цифровых схемах ОНФ алгоритм (11.59) реализуем, так как расчет на ЭВМ интеграла (11.59) возможен при любой функции Rx (t, т).

Практические рекомендации для синтеза оптимальных нелинейных фильтров сообщений. Несмотря на различие методических подходов, структурные схемы оптимальных нелинейных фильтров сообщений в статистической теории приема получают-

ся примерно одинаковыми. В простейшем случае высокоточных оценок, когда справедливы гауссовы приближения апостериорных плотностей вероятностей и можно пренебречь высокочастотными шумовыми флуктуация-ми, структурные схемы ОНФ целесообразно реализовать в виде следящей схемы рис. 11.18, состоящей из т р е х блоков: оптимального дискриминатора, генератора опорных напряжений с обратной связью по оценке и оптимального сглаживающего фильтра — линейного (гауссово сообщение) либо нелинейного (марковское сообщение).