§ 17.3. Методы составления цифровых моделей (методы оцифровывания математических моделей)

Общие методы оцифровывания. Методы оцифровывания аналоговых математических моделей хорошо известны 17, 24)« и сводятся к следующим операциям:

замене аналоговых сигналов х (/), у (г) их решетчатыми функциями х [л], у \п], с шагом дискретизации Т:

введению в цепи обратной связи следящих РТУ задержки на один шаг дискретизации гг¹, так что вместо у [п] имеем у [п — 1];

применению различных способов представления линейных инерционных звеньев в виде цифровых фильтров (способыскользящего суммирования, рекуррентных разностных уравнений и др.);

замене дифференциальных уравнений разностными уравнениями с использованием интерполяционных методов Эйлера, Рунге — Кутта и др.

Методы составления цифровых моделей линейных динамических звеньев. При цифровом моделировании ЛДЗ стремятся обеспечить максимальное совпадение выходных дискретных значений ЦФ у_ц [п] — = у [я] и дискретных выборок «_аХ Х(пТ) = у(пТ) моделируемого аналогового фильтра. Существует ряд методов обеспечения равенства у In] = = у (пТ) с применением теории нерекурсивных и рекурсивных ЦФ 124].

Цифровые модели ЛДЗ на нерекурсивных ЦФ. Метод скользящего суммирования применяется при описании ЛДЗ интегралом Дюамеля (17.4) и состоит в замене интегрирования суммированием [7]:

Здесь коэффициенты с [k] зависят от способа аппроксимации.

Метод инвариантности импульсной характеристики [24] предусматривает (например, для стационарного ЛДЗ) выбор импульсной характеристики ЦФ я ]k] в соответствии с равенством я ]k] = Th (kT), где л (t) — импульсная характеристика моделируемого фильтра. Это соответствует цифровому алгоритму модели ЛДЗ:

где a_fc - h \k\ = Til (кТ) — коэффициенты.

Алгоритмам (17.7), (17.8) соответствует цифровая модель нерекурсивного Цф (_рис 17.2, а) с передаточной функцией

H(z) = Y(z)/X(z)₌₌ £ _aft2-*. ₍₁₇.9)

Цифровые модели ЛДЗ на рекурсивных ЦФ. Метод рекуррентных разностных уривнений [7] предусматривает замену передаточной функции моделируемого фильтра

K(p) = Y(p)/X(p) =

(17.10) ее цифровым аналогом

(17.11)

Это эквивалентно (при а„ — 1) заданию рекуррентного разностного уравнения цифровой модели ЛДЗ:

(17.12)

Данный алгоритм соответствует структурной схеме рекурсивного ЦФ (рис. 17.2, б).

Метод билинейного z-преобразо-вания |24| предусматривает задание ПФ Н (г) путем подстановки

р = (2/Г) (1 - г-¹) (1 + г-¹)-¹ (17.13)

в передаточную функцию К (р) моделируемого ЛДЗ. Так, например, для инерционного ЛДЗ первого порядка К ip) — { 1 4 рт)^-1 после подстановки (17.13) имеем Н (z) (Ь_в b_tz~^l)x X (1 + а, г-¹)-', где Ь„=- Ь_г - TI КТ i 2 т), a, (Т — 2т)/(Г + 2т).

Метод согласованного z-преобразо-вания используется, когда ПФ моделируемого ЛДЗ задана в виде

(17.14)

где р_ы — нули; p_h — полюсы.

В этом случае Н (г) цифрового фильтра находят путем замены каждого сомножителя в числителе и знаменателе по формуле

(р — а, -> (1 IT) (1 —г-¹ е«'). П7.15

Если в (17.14) все полюсы простые, то, вычислив вычеты А ,„ = К (р) (р — p_m)\p-_Pm, можно найти импульсную характеристику аналогового моделируемого ЛДЗ:

(17.16)

Подстановка (17.16) в (17.8) позволяет использовать цифровую модель нерекурсивного ЦФ (см. рис. 17.2,а) с коэффициентами a_h Th {kT)

Наоборот, от модели на нерекурсивном ЦФ можно

перейти к модели на рекурсивном ЦФ. Для этого надо подставить (17.6) в (17.9) и записать

U7.17)

Приводя это выражение к форме (17.11), мы придем к цифровой модели рекурсивного ЦФ (рис. 17.2,6).

Цифровые модели комплексных ЛДЗ. В рамках метода комплексной огибающей приходится составлять цифровые модели комплексных линейных фильтров 15], имеющих обычно нереализуемую в аналоговом виде импульсную характеристику Н (г), связывающую комплексные огибающие на входе и выходе интегралом

П7.18)

Тогда методом скользящего суммирования нетрудно получить соот-

ветствующую цифровую модель комплексного ЦФ:

(17.19)

Часто комплексные огибающие разбивают на действительную и мнимую части: Ё_х = а_х — jb_x, Е_у =* = а -jb_y, Н = H_r — fftf.

Тогда приходим к уравнениям

соответствующим модели ЦФ, показанной на рис. 17.3 и описываемой соотношениями

(17.20)

Методы составления цифровых моделей нелинейных звеньев. Безынерционные нелинейные звенья (БНЗ), описываемые уравнением у (t) = = G{x (i)}, оцифровываются с помощью перехода к решетчатым функциям у I п] = G {х In)}.

Инерционные нелинейные звенья функционального типа оцифровываются последовательным применением перечисленных методов для ЛДЗ и БНЗ.

Цифровые модели нефункциональных нелинейных звеньев составляют несколькими способами [5]. Так. если задано нелинейное дифференциальное уравнение, то применяют его непосредственное оцифровывание (например, методом Рунге — Кутта).

Для следящих РТУ вида рис. 17.4, а с алгоритмами

составляют цифровую модель рис. 17.4, б и описывают ее поблочно цифровыми алгоритмами: