§ 10.2. Дифференциальное уравнение

типовой системы ФАПЧ

Обратимся к рис. 10.1 и выведем дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы ФАПЧ при воздействии шумов [29]. При выводе уравнения сделаем ряд допущений:

ФД заменен устройством, осуществляющим перемножение двух сигналов, т. е. имеющим косинусоидаль-ную нормированную характеристику F (ф) ■= cos ф, где ф — мгновенная разность фаз ГС и ПГ;

характеристика УЭ в пределах рабочего участка линейная;

единственным инерционным звеном системы ФАПЧ является ФНЧ, все остальные элементы системы — безынерционные;

аддитивный шум и_т (t) представляет собой нормальный случайный процесс с нулевым средним значением. Спектральная плотность симметрична относительно средней частоты ГС о,.,,.

На один вход ФД подается сумма сигнала и шума, которую можно записать в виде

"е (t) + «,„(/) с/₀С05Ф₍.(/) +

+ U_m (t) cos Ф_ш (t) - -. U_P cos [со, / +

+ e_r(/)i +u_m(t) х

X cos [«„Г 0_ш(/)|, (10.2)

где U_c постоянная амплитуда сиг нала; Ф_с (/), Ф_ш (t) — полные фаз сигнала и шума; 8_С (t), 9_Ш(/) — случайные фазы сигнала и шума.

На второй вход ФД подается сигнал от ПГ:

м,. (0 U, совФ, U)

t7_rcos[co_rrf 9_г(/)1, (10.3)

где U_г — постоянная амплитуда гетеродина; Ф_г (/), 9_Г (t) — полная и случайная фазы гетеродина соответственно.

Напряжение шума со средней частотой со₀, совпадающей с частотой сигнала, можно представить в виде двух квадратурных составляющих:

Uw(*)^V_m(t)cos[co₀/- е_п1(01

=а_ш (/) cos Ф_с (t)-b_m(t) 5шФ₀(/), (10.4)

где а_ш (t) = U_m (t) cos [8_П1 (t) — - 8_С (01, b_lu(t) = U_m(t) siirX [6_Щ(/) — 9_C (/)] — косинусная и синусная составляющие огибающей шума соответственно.

Обе составляющие описывают независимые нормальные случайные процессы с нулевым средним значением и одинаковыми энергетическими спектрами NJ2, такими же, как энергетический спектр процесса и_ш (t), но смещенными в область низких частот, так что они центрированы около нулевой частоты.

Подставляя (10.4) в (10.2), получим

«_с (/) + и_ш (/) = (U_c + а_т (0) cos Ф„(0 -

-Ь_щ(()*тФ_са). (Ю.5)

На выходе ФД, с учетом указанного допущения о наличии перемножающего устройства, используя выражения (10.3), (10.5), имеем

ЫфД (/) - Кф)Д [о₀ (t)+u_m (/)] и,. (/) ==

X [СОб(Ф_е(*) — Ф_г(0) + + С05(Ф₍, (*)+Ф_Р(*))1 —

— U_rb_m (01»1п(Ф_в (/) -Ф_г(*)) +

sin (Ф₀ (t) 1 Ф_г (/))!}, (10.6)

где кфд — коэффициент преобразования ФД.

Напряжение на выходе ФНЧ связано с напряжением на его входе (выходным напряжением ФД «фд (t)) соотношением

и_ф«)=иф_ЛЦ)Н(р), (10.7)

где Н (р) — передаточная функция ФНЧ в операторной форме (р — d/dt).

ФНЧ отфильтровывает высокочастотные составляющие в (10.6), поэтому на его выходе имеем

(10.8) Здесь

Ф«)=Ф_в(/)-Ф_г(*) (Ю.9)

— мгновенная разность полных фаз ГС и ПГ.

Если цепь обратной связи между выходом ФНЧ и входом УЭ разомкнута, то можно предположить, что напряжение на входе УЭ равно нулю. При этом начальная расстройка по частоте между ПГ и ГС Д₀ —

— (о_го — со₀, где со_го — частота ПГ при разомкнутой цепи регулирования.

При замыкании цепи обратной связи мгновенная частота ПГ изменяется, так как появляется напряжение на входе УЭ ы_ф (t). В силу линейности характеристики УЭ новое значение частоты ПГ

со_г — (о_го соуэ- (10.10)

Здесь соуэ — мгновенная расстройка, создаваемая УЭ:

«уэ -5уэ"ф(') (10.11)

(5уэ [рад/(В-с)1 — крутизна характеристики УЭ).

Подставляя (10.11) в (10.10) с учетом (10.8), получим

^wr = w_r0 — Sy э"_ф (/) - w_r0 — 1

— ~Y Sy_э к_Фд H (p) U_r l(U_c + а_ш if)) x Xcoscp(r)- -b_w(f)sm<p(t)\. (10.12) 198

Мгновенное значение разности частот ГС и ПГ в операторной форме с учетом соотношений (10.9), (10.2), (10.3) и значения ш_г (10.12) приводит к следующему дифференциальному уравнению системы ФАПЧ при воздействии аддитивных шумов:

где if (/) = 6,. (г) — 6_С (/) — разность случайных фаз ПГ и ГС.

Правая часть уравнения (10.13) состоит из четырех слагаемых. Первые два слагаемых описывают процессы в системе ФАПЧ в отсутствие шумов и случайных фаз обоих сигналов. Тогда уравнение (10.13) можно записать в виде

РФ(0 + ЛЙ_УЯ (/>)cos<p(/)- Д„, (10.14)

где ДЙ_У = Sys Кф_Д U_rU_c/2 = = 5уэ t/фд _тах — полоса удержания, определяемая как максимально возможная расстройка, которую может компенсировать цепь управления; ^дф max = кфд U_rU_c/2~- максималь-ное значение напряжения на выходе ФД.

Уравнение (10.14) показывает, что в отсутствие шумов в замкнутой системе ФАПЧ алгебраическая сумма мгновенной разности частот двух генераторов /?ф и расстройки, вносимой УЭ, равна начальной расстройке генераторов Д₀. Как видно, дифференциальное уравнение (10.14) — нелинейное, а порядок его зависит от сложности передаточной функции ФНЧ Н (р). В настоящее время нет аналитических методов решения такого уравнения в общем виде.'

Точное решение возможно только в частном случае системы ФАПЧ с идеализированным ФНЧ \Н (р) 1|.

При этом уравнение (10.14) запишется в виде

(10.15)

С помощью этого дифференциального уравнения первого порядка можно построить фазовый портрет системы, где ее мгновенное динамическое состояние отображается в пространстве точкой, а с течением времени / — интегральной кривой (рис. 10.3). При dcp (t)/dt > 0 изображающая точка движется в сторону возрастания функции ср (/), так как производная положительна при увеличении самой функции, а при d<p (t)Idt <; 0 — в сторону уменьшения функции ф (t). В стационарном состоянии (с!ф (/)/d/ = 0) из (10.15) имеем Дй_усо5ф(/) = = Д₀, т. е. синхронный режим системы возможен лишь при условии Д₀ < ДО_у.

Допустим, что в начальный момент ф (0) — 2я к 4- л/2, где к —

0,1, 2, .... Тогда изображающая точка стремится двигаться по косину-соидальной траектории, пока не достигнет оси ф (/), и остается там в устойчивом состоянии. При этом разность фаз

Вблизи точки устойчивого равновесия величина dф (t)/dt не может стать отрицательной, так как тогда Ф (г) стремилась бы уменьшиться и вернуть изображающую точку к оси Ф(0-

Точками неустойчивости равновесия являются

Изменение начальных условий при фиксированных значениях Д₀ и Д<Ь_У приводит к тому, что с течением времени изображающая точка движется по 'интегральной кривой к фазам устойчивого равновесия <f'_Ui.

Решение дифференциального уравнения (10.15) позволяет определить полосу захвата \Q₃ системы ФАПЧ с

Рис. 10.3

идеализированным ФНЧ. Разделя переменные в (10.15) и- интегриру по dt, получим

где /₀ — постоянная интегриров; ния.

В результате интегрирования л вой части этого уравнения, после пр образований и при t -*■ оо можно о ределить установившуюся разнос фаз ф₀ ГС и ПГ:

или, учитывая тригонометр ческие преобразования tg ф₀/2

= V 1 — cos ф„/К 1 + cos фо, пол

чим окончательно cos ф₀ = — Д₀/ДЙ Из этого решения следует ряд bi водов.

При Д„ > Д£2_У в системе ФАП устанавливается режим биен! (рис. 10.4) со средней частотой й_ср ==К'Д§ — Д0²_у. При этом траектор! изображающей точки никогда не п ресекает оси ф (г) и синхронизм i фазе никогда не достигается.

При Д₀ = Дй_у наступает Крит ческий режим, а при Д„ <Г Д£2_у режим захвата, т. е. синхронный г. жим с установившимся значена фазовой ошибки ф₀.

Таким образом, в системе ФАПЧ идеализированным ФНЧ полосы г

Рис. 10.4

хвата и удержания одинаковы. Особенностью системы ФАПЧ с идеализированным фильтром является отсутствие перескоков фазы (в отсутствие шумов) в процессе вхождения системы в синхронизм. Иначе говоря, фазовая ошибка ф₀ в процессе затягивания и захвата никогда не достигает значения 2л.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений и рассмотрению характеристик в фазовой плоскости для систем ФАПЧ с реальным фильтром. Пусть в качестве ФНЧ используется фильтр с передаточной функцией Н (р) (Тр -4- \)/р. Подставляя это значение в общее дифференциальное уравнение системы ФАПЧ при воздействии аддитивного шума (10.13), получим

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое не имеет решения в общем виде.

В отсутствие шума и случайных фазовых сдвигов ГС и ПГ уравнение (10.18) может быть преобразовано к виду

(10.19)

Это уравнение можно представить графически на плоскости (ф, ф) (рис. 10.5). Нетрудно выявить некоторые особенности этого представления. При больших расстройках по частоте |ф| между ГС и ПГ второе слагаемое в (10.19) становится малым и изображающая точка движется почти по синусоиде (траектории У, /' и 2, 2' на рис. 10.5). При этом точка пробегает траектории слева направо в верхней полуплоскости (ф > 0) и в противоположном направлении в нижней полуплоскости (ф < 0). Уравнение (10.19) — периодическое по ф с периодом 2л. Следовательно, достаточно иметь график физически наблюдаемой фазы, приведенной к интервалу [ л < <[ < я]. Конечные значения ф при ф я (кривые /, 2) являются начальными значениями для следующих, расположенных ниже (выше) траекторий (кривые /', 2'). Продолжая эти построения, можно считать, что система ФАПЧ будет проходить через последовательные периоды (протяженностью 2л) фазовой ошибки, что называется явлением перескоков фазы. При этом на выходе ФД возникает сигнал биений между ГС и ПГ (см. рис. К).4). Ввиду наличия ФНЧ система инерционна, поэтому с течением времени увеличивается затухание колебаний и в ка- кой-то момент времени значение |ф| окажется в зоне захвата |АЙ₃|. В этой области в системе уже нет перескоков фазы (кривые 3, 3'), фазовые и частотные ошибки уменьшаются, стремясь к значениям ср = О, Ф = (k + 1) л, и будет осуществлен захват фазы.

Отметим, что захват фазы может быть осуществлен и без перескоков (разы, что зависит от начальной расстройки. Траектория изображающей точки в этом случае называется критической. Условия ее существования показаны на рис. 10.6 в виде графика a dq>(/)/ а² \ . , ₀

до; ьи\щ) "Р" м = ^л- ^Зависи-

мость области захвата по частоте от величины а²/Дй_у показывает, что при увеличении значения последней область захвата расширяется. При a,4AQ_r -*■ 0, что эквивалентно идеальному фильтру (а -= 0), значение функции ф_да — 1, т. е. система всегда захвачена по частоте.

Далее обратим внимание на точки устойчивого и неустойчивого равновесия. Из (10.19) следует, что при ф =0, ф = (2k 4- 1) л/2 второе слагаемое неопределенно (%). При четных значениях k (включая k — 0) точки являются устойчивыми и система осуществляет захват фазы, а при нечетных k — неустойчивыми.

Использование в системе ФАПЧ рассмотренного ФНЧ, состоящего из идеального интегратора и форсирующего звена, обеспечивает достаточное усиление в петле, поэтому при сколь угодно малой постоянной составляющей биений обязательно произойдет затягивание системы и наступит синхронный режим. Время захвата системой с описанным ФНЧ

Если начальная расстройка Д₀ > > AQ_y, то время захвата окажется недопустимо большим. Для уменьшения времени захвата в ФНЧ необходимо использовать неидеальный инте-

Рис. 10.6

гратор, например типа //(р) = = (Тур + 1)/(7> + 1). При этом время захвата

В заключение отметим, что выше на примере реального фильтра был показан графический метод нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения (10.19) для системы ФАПЧ. Указанный метод может быть распространен на случай использования произвольного реального ФНЧ. Полученное дифференциальное уравнение надо свести к виду (10.19) и решать его на плоскости (ф, ф) с помощью ЭВМ. Это наиболее точный и быстрый путь нахождения характеристик системы ФАПЧ.