§ 10.3. Статистические характеристики системы фапч и ее модели

В этом параграфе проанализируем работу системы ФАПЧ при воздействии шумов (помех), опираясь на полученные в § Ю.2 дифференциальные уравнения системы. Нелинейный характер исходного дифференциального уравнения (10.13) имеет вид ф(/) —

= F [ф (0, I (01- ³Д^есь I (0 - ^ста_ ционарный нормальный процесс, а ф (t) является приближенно непрерывным марковским процессом, если время корреляции т^ случайного воздействия | (t) намного меньше постоянной времени системы ФАПЧ, т. е. система должна быть инерционной. На практике это условие для широкополосных входных шумов обычно выполняется (ширина спект-

ра шума существенно больше полосы удержания ФАПЧ: ДЙ_Ш > AQ_y).

Рассмотрим воздействие шума на систему ФАПЧ с идеализированным фильтром. Подставляя условие Я(р) = 1 в (10.13), получим [29]

X sin ф (/)) + рф (/) — фиктивный нормальный белый шум со статистическими характеристиками <|(^)> = = 0, < | (/) t(t + т) > = N12 б (т); N — спектральная плотность этого шума.

Уравнение (10.20) можно рассматривать как априорное стохастическое дифференциальное уравнение марковского процесса ф (t). Поскольку в правую часть этого уравнения входит случайная функция % (t), решить его можно только в рамках статистической теории.

Для полного описания случайного процесса ф (t) необходимо ввести плотность вероятности р (ф, г) угла Ф в момент t после начала воздействия

внешних сил и при начальном условии Ф == Фо, г = 0. Следовательно, начальная плотность вероятности р (ф, 0) = б (ф — ф₀). С течением времени из-за действия шума функция р (ф, t_x) будет «расплываться», а по истечении большого промежутка времени р (ф, /₂) примет вид многомодальной функции (рис. 10.7), причем каждая мода будет располагаться в точках устойчивого равновесия (10.16). При этом сохраняется ус-

ловие J' р (ф, i) dtp = 1 для всех зна-

чений t. Когда начальная расстройка А₀ = 0, функция р (ф, t) будет симметричной для положительных и отрицательных устойчивых состояний. Если Д₀ Ф 0, то функция р (ф, /) становится несимметричной: при А₀ > 0 увеличиваются моды для положительных значений ф+_й и уменьшаются для отрицательных значений ф!_в, при А„ <с 0—наоборот [29].

Можно чисто качественно описать поведение системы ФАПЧ при воздействии шума \ (t). При большом отношении сигнал/шум разность фаз Ф (/) будет разбросана в окрестности начальной точки устойчивого равновесия фо (см. рис. 10.3). При сравнимом отношении сигнал/шум шумовое воздействие может вывести систему ФАПЧ из области начального устойчивого равновесия ф₀ и перебросить в соседние состояния равновесия ф±!, ф±₂ и т. д., т. е. в системе ФАПЧ происходят перескоки фазы на ± 2nk, возрастающие с течением времени.

Определим нестационарную функцию распределения р (ф, /), воспользовавшись диффузионным уравнением Фоккера — Планка — Колма-горова [см. (11.45)1:

(10.21)

где Д„ —■ Ай_у cos ф (t) = а (ф) — коэффициент сноса; N12 = Ь — коэффициент диффузии.

Наибольшее значение имеет ста-

ционарное распределение р (ср) = = lim р (ср, t). Оно соответствует в

(10.21) условию р (ф, t) — 0,

и, следовательно, дифференциальное уравнение в частных производных превращается в обыкновенное. Обозначив а = 4Д„/Л\ В = 4ДЙ_У/Л^/, получим

Проинтегрировав по ф, найдем решение

где /,-„ — функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента.

Решение этого интеграла можно получить через известные функции только для частного случая, когда а= Д_о=0, т. е. когда начальная расстройка между ГС и ПГ отсутствует и задача ФАПЧ состоит только в слежении за фазой. При этом условии

(10.23)

где /₀ (В) — функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента.

Заметим, что коэффициент В пропорционален отношению сигнал/шум в полосе системы, так как AQ_y ~ ~ U_rU_c [см. (10.14)].

При малом отношении сигнал/шум (Р С 1) функция ехр (— В sin ср) да да 1„ (В) да 1. Тогда

т. е. закон распределения р (ф) равновероятный.

При большом отношении сигнал/ шум "(В > 1) вначале надо разложить в ряд функцию sin ф вокруг установившегося значения разности фаз ГС и ПГ ф₀ = — я/2: sin (ф — — л/2) да 1 - ф²/2 при ф« 1. Затем

следует воспользоваться асимптотическим приближением I„ (В)р», аз да ехр В/К2лВ. Подстановка этих значений в (10.23) дает выражение для нормальной плотности вероятности:

На рис. 10.8 приведены плотности вероятности разности фаз при Д₀ ==0 и различных значениях В, которые пропорциональны отношению сигнал/шум. Видно, что функция р (ф) изменяется от равновероятной (В—-0)

до нормальной (В > 1), а в пределе (Р—>-оо) стремится к б-образной. При этом всегда среднее значение <ф> = — л/2, а дисперсия о£ изменяется в зависимости от 6.

Отметим, что при наличии начальной расстройки по частоте Д„ ф 0 плотности вероятности р (ф) становятся асимметричными и, следовательно, средняя фаза смещается относительно ф = л/2. Графики изменения среднего значения <Ф> и среднеквадратического отклонения а_ф разности фаз в зависимости от отношения Д„/Дй_у приведены на рис. 10.9. С увеличением начальной расстройки Д₀ значения <ф> и о_щ возрастают, причем при Д„ -»-

ДО_у рост среднего значения замедляется, а рост дисперсии, наоборот, убыстряется.

Статистические характеристики ФАПЧ с реальными ФНЧ находят на основе их дифференциальных уравнений и по методике, описанной выше для ФАПЧ с идеальным фильтром.

Перейдем к представлению системы ФАПЧ в виде моделей. Рассмотрим модель, основанную на условии обеспечения синхронизма работы системы.

Используя формулу (10.6) для напряжения на выходе ФД, найдем напряжение на выходе ФНЧ:

где "ш-эк (0 = U_ra_m (t)cosy (t)+ + ^с/г'^,ш (0 sin ф (/) — эквивалентный шум, представляющий собой нормальный процесс с равномерным энергетическим спектром NJ2 на низких частотах, ширина которого гораздо больше полосы частот, пропускаемых системой ФАПЧ; h (t) — импульсная переходная функция ФНЧ.

При отключении управляющего сигнала и_ф (/) от ПГ генератор выдает гармонический сигнал постоянной

частоты <о_го. После же подключения ПГ согласно (10.12) его частота

Чтобы не повторять постоянно начальную частоту (о_го, определим фазы ГС и ПГ по отношению к частоте

пг (о,.₀: ф, (/) ф,. ф,(0

ф,. (/) - - со_гиЛ Тогда формулу (10.27) можно привести к виду

где ф(/) =Ф_х(/)-Ф₄(0.

Выражению (10.28) соответствует модель системы ФАПЧ в режиме синхронизма, изображенная на рис. 10.10. Фазовый детектор, который ранее представлялся как идеальный перемножитель двух напряжений, теперь формирует косинусоидальную функцию фазовой ошибки и, следовательно, представляется в виде двух последовательных функциональных блоков: вычитающей схемы и схемы формирования косинусоидальной нелинейности. Перестраиваемый генератор заменяется на интегратор, а это означает, что фаза выходного сигнала ПГ пропорциональна интегралу управляющего сигнала и_ф \t). ФНЧ заменяется звеном с передаточной функцией К_ФН (р). Влияние эквивалентного входного шума "ш-8к(0 учитывается непосредственным включением генератора шума в синхронную модель следящей системы уже после косинусоидальной нелинейности.

Рассмотрим теперь линейную модель системы ФАПЧ. Если считать, что динамическая фазовая ошибка мала, т. е. |ф (/)| < ' рад, то можно воспользоваться разложением функции cos ф (/) в (10.28) вокруг устой-

Рис. 10.11

чивого значения разности фаз фо = я/2 (см. рис. 10.3): cos (ф + я/2)-= — sin ф, а затем воспользоваться приближением

cos _чф-|- я/2) - - — siny « — ф. (10.29)

Система ФАПЧ в этом случае близка к захвату фазы, а косинусо-идальную нелинейность, показанную на рис. 10.10, можно не рассматривать. При этом работа системы ФАПЧ описывается линейным уравнением, которое получается при подстановке (10.29) в (10.28):

При использовании такого приближения схему, изображенную на рис. 10.10, можно заменить схемой линеаризированной модели системы ФАПЧ (рис. 10.11).