Примеры выполнения заданий работы

Задание 1. Локализуйте корни заданного уравнения, на заданном отрезке. Укажите количество корней и отрезки, в каждом из которых заключен корень уравнения.

Для уравнения sin 2x – ln x = 0 имеется единственный отрезок, содержащий корень данного уравнения – [1,3; 1,4].

Задание 2. Найдите один из кореней заданного уравнения, с погрешностью ε = 0,001 методом половинного деления;

sin 2x – ln x = 0, [1,3; 1,4]

Решение:

F(x) = sin 2x – ln x

а = 1,3; b = 1,4

х₀ = (1,3 + 1,4)/2 = 1,35; ∆x₀ = |1,3 – 1,4|/2 = 0,05

получаем два отрезка: [1,3; 1,35] , [1,35; 1,4]

F(1,3) = sin (2∙1,3) – ln 1,3 = 0,25; F(1,35) = 0,13; F(1,4) = - 0,001

на отрезке [1,35; 1,4] функция меняет знак

х₁= (1,35 + 1,4)/2 = 1,375; ∆ = |1,35 – 1,4|/2 = 0,025

[1,35; 1,375] , [1,375; 1,4]

F(1,35) = 0,13; F(1,375) = 0,06; F(1,4) = - 0,001

[1,375; 1,4]

х₂=(1,375 + 1,4)/2 = 1,3875; ∆ = |1,375 – 1,4|/2 = 0,0125

[1,375; 1,3875] , [1,3875; 1,4]

F(1,375) = 0,06; F(1,3875) = 0,03; F(1,4) = - 0,001

[1,3875; 1,4]

х₃= (1,3875 + 1,4)/2 = 1,39375; ∆ = |1,3875 – 1,4|/2 = 0,00625 0,01

Ответ: х = 1,39 ± 0,01

Задание 3. Найдите один из кореней заданного уравнения, с погрешностью ε = 0,001 методом простой итерации;

sin 2x – ln x = 0, [1,3; 1,4]

Решение:

F(x) = sin 2x – ln x

1. Приводим уравнение к виду x = f(x)

x = x – μ(sin 2x – ln x)

2. Подберем константу μ, μ = –1/׀М׀

F'(x) = 2cos 2x – 1/ x

F'(1,3) = – 2,48; F'(1,4) = – 2,6

׀М׀ = 2,6, μ = – 1/2,6 0,38

3. Получаем итерационную формулу:

x_n+1= x_n + 0,38(sin 2x_n – ln x_n)

4. Найдем q

5. Выберем х_0, например х₀ = 1,35 (середина отрезка)

Итерационный процесс удобно оформлять в виде таблицы:

n	xn	xn+1= xn + 0,38(sin 2xn – ln xn)
0	1,35	1,3983646	0,00059

Как видим, уже значение х₁ = 1,3983646 соответствует заданной точности 0,001, округляя результат до верных цифр, получаем

Ответ: х = 1,398 ± 0,001

Контрольные вопросы.

1. Из каких этапов состоит решение нелинейного уравнения?

2. В чем заключается задача отделения корней?

3. В чем состоит основная идея метода половинного деления?

4. Каков алгоритм решения уравнений методом простой итерации?

5. В чем недостатки и достоинства методов половинного деления и простой итерации?

3.5 Методы Ньютона

Метод касательных

Пусть корень локализован на отрезке [a,b].

В ыбирается точка x₀ на этом отрезке и в этой точке строится касательная к графику функции y=f(x) (рис.3.3). За новое приближение x₁ принимается точка, в которой касательная пересекает ось 0x. Далее процесс повторяется. Таким образом, на каждом этапе решение исходного нелинейного уравнения заменяется на решение линейного уравнения (уравнения касательной), т.е. проводится линеаризация исходного уравнения.

Формула метода касательных имеет вид: (3.3)

Оценка погрешности производится по формуле (3.4), где , ε – заданная погрешность.

Метод хорд (метод секущих)

Пусть задан отрезок [a,b], на концах которого функция f (x) имеет значения разных знаков – f (a) f (b) < 0 .

Алгоритм метода хорд:

1. с – конец отрезка [a; b] для которого выполняется F(x)·F''(x) >0, противоположный конец принимают за х₀.

2. Итерационная формула: (3.5),

3. Оценка погрешности производится по формуле: (3.6), где , ε – заданная погрешность.

Графическая интерпритация метода хорд представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.5. Приближения к корню уравнения по методу хорд