§1. Теоретические основы численных методов

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вслед­ствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математи­ков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследовани­ях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической модели явления, и его исследова­ние. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Назва­ния некоторых из таких методов — методы Ньютона, Эйлера, Лобачевско­го, Гаусса, Чебышева. Эрмита, Крылова — свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

В результате появления ЭВМ (электронно-вычислитель­ных машин или, как часто говорят, компьютеров) с программным управ­лением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 10¹ операций на современных серийных ЭВМ, т.е. примерно в 10¹³ раз.

Применение ЭВМ и расширение мате­матического образования резко увеличило возможности применения вычислительной математики. Современные успехи в решении таких, например, проблем, как атом­ные и космические, вряд ли были бы возможны без применения ЭВМ и численных методов. Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов. Наряду с этим последние полве­ка происходило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых методов, а также систематизация всех методов.

Особенностью настоящего времени является широкое применение математических методов и ЭВМ в различных областях человеческой деятельности: в науке, технике, экономике, медицине и даже в лингвистике. Такое широкое внедрение математики в сферу общественно-политической, производственной и других областей жизни вызвано необходимостью анализа и прогнозирования явлений и процессов, происходящих в обществе и природе. Для осуществления указанных целей прежде всего необходимо разработать математическую модель рассматриваемого явления, процесса или объекта.

Математическая модель – это описание наиболее существенных свойств и особенностей явления на языке математических понятий и уравнений.

Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, объекту, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание и применение математического аппарата для его анализа. Математика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в будущем.

Построение математической модели является одним из наиболее сложных и ответственных этапов исследования объекта. Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств, так как основывается на упрощении и идеализации объекта. Поэтому результаты, получаемые на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер.

Вопрос о точности является важнейшим в прикладной математике. Анализ ошибок (или, как говорят чаще, погрешностей) явля­ется неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Часть этих погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ: в простейших случаях — на микро­калькуляторах (МК), а в достаточно сложных — на программиру­емых ЭВМ (компьютерах). С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с боль­шим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, по­требность в оценке фактической точности результата лишь возра­стает.

Возникновение, накопление и распространение ошибок про­ходят через все стадии решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных. В достаточно общем случае, процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следу­ющих этапов:

1. постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

3. запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

4. отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);

1. анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выраженной в форме иных, как угодно сложных, математических структур или соотно­шений самой различной природы. Математические модели, в част­ности, могут быть непрерывными или дискретными, в зависимо­сти от того, какими величинами — непрерывными или дискрет­ными — они описаны.

Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной мате­матической модели называют алгоритмизацией. На этом этапе мо­гут использоваться любые подходящие средства представления алгоритмов: словесные описания, формулы, схемы и т.п. Во мно­гих случаях вслед за построением алгоритма выполняют так назы­ваемый контрольный просчет — грубую прикидку ожидаемых ре­зультатов, которые используются затем для анализа решения.

Особые трудности на этапе разработки алгоритма заключаются в поиске метода решения задачи. Дело в том, что уже для доста­точно простых моделей чаще всего не удается получить результат решения в аналитической форме. Пусть, к примеру, задача све­лась к решению уравнения с одной переменной: х - tgx = 0. При всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается, и весь арсенал мето­дов «точной» математики оказывается здесь беспомощным. В таких случаях приходится использовать приближенные математические методы, позволяющие получать удовлетворительные результаты. Основными методами решения подобных задач являются числен­ные методы, при использовании которых результат получается путем вычислений. По этой причине наиболее естественный путь реализации численных методов — это использование ЭВМ.

На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке, понятном ЭВМ. Это — этап программирования. В простейших слу чаях дело сводится, например, к исполь­зованию имеющегося программного обеспечения.

В условиях использования ЭВМ численные методы выступают как мощное математическое средство решения практических за­дач.

Завершающий этап решения задачи — это анализ, или интер­претация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами конт­рольного просчета, а также с данными, полученными экспери­ментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие — противоречащими смыслу реальной задачи; такие решения следует отбросить. Высшим критерием при­годности полученных результатов в конечном итоге является прак­тика.