Задания для самостоятельного решения

x	1,62	1,63	1,64	1,65	1,66	1,67
f(x)	8,14	8,02	7,93	7,21	6,54	5,01

1. Для таблично заданной функции вычислите значения конечных разностей всех порядков:

2. Для таблично заданной функции вычислите её значение при х = 2,25 , используя первую интерполяционную формулу Ньютона. Вычислите для контроля значение интерполяционного многочлена в узле таблицы х = 2,2, сопоставьте полученное значение функции с табличным:

x	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
f(x)	8,69	11,44	14,70	18,53	22,98	28,10

3. Для таблично заданной функции вычислите её значение при х = 1,48 , используя первую интерполяционную формулу Ньютона. Оцените погрешность интерполяции:

x	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
f(x)	-1,67	-1,80	-1,93	-2,05	-2,18	-2,30

x	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
f(x)	8,69	11,44	14,70	18,53	22,98	28,10

4. Для таблично заданной функции вычислите её значение при х = 2,86 , используя вторую интерполяционную формулу Ньютона. Вычислите для контроля значение интерполяционного многочлена в узле таблицы х = 2,8, сопоставьте полученное значение функции с табличным

5. Для таблично заданной функции вычислите её значение при х = 1,83 , используя вторую интерполяционную формулу Ньютона. Оцените погрешность интерполяции:

x	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
f(x)	-1,67	-1,80	-1,93	-2,05	-2,18	-2,30

§6. Численное интегрирование

6.1 Задача численного интегрирования

К вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи, такие, как вычисление площадей фигур, объемов тел, работы некоторой силы и др.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y=f(x). С помощью точек x_i (i=0,1,...,n), разобьем отрезок на n элементарных отрезков [x_i-x_i-1] (рис.6.1). На каждом из этих отрезков выберем точку _i (x_i-1 x x_i).

Составим сумму: .

Данная сумма называется интегральной суммой.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при n и x_i0:

.

Численное интегрирование функции f(x) состоит в нахождении определенного интеграла от этой функции в некоторых пределах от x = a до x = b. Функция, конечно, может зависеть от других аргументов f(x, С), что никак не меняет вычислительную постановку задачи.

В противоположность аналитическим методам математики, численное интегрирование - очень надежная и простая операция (по крайней мере, для "хороших" обычных функций), а численное дифференцирование - несмотря на кажущуюся тривиальность, операция более коварная и может приводить к неожиданным и неприятным ошибкам.

Вычислительный алгоритм строится следующим образом. Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на n равных частичных отрезков [x_i–1; x_i], i = 1, 2, ..., n длиной h = (b − a) / n, а интеграл заменяется суммой частичных интегралов

.

Затем подынтегральная функция f (x) на частичном отрезке [x_i–1; x_i] заменяется некоторым интерполяционным полиномом невысокой степени m L_m,i(x) , и вычисляется интеграл . В результате получается приближенное значение интеграла

Эта формула называется квадратурной, точки x _k – узлами, а числа c _k – коэффициентами этой формулы.

В зависимости от выбора интерполяционного полинома получаются различные квадратурные формулы.