Примеры выполнения заданий работы

Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

решите систему линейных уравнений методом простой итерации.

Решение:

Исходную систему приводим к системе с преобладающими диагональными коэффициентами и к виду Х = АХ.

Переставим уравнения в системе по преобладанию коэффициентов: в первом уравнении преобладает коэффициент перед х₃, во втором – перед х_1, сложив третье уравнение с первым, мы получим уравнение с преобладанием второго коэффициента:

Разделим каждое уравнение на диагональный коэффициент и выразим диагональное неизвестное:

(итерационная формула)

Проверяем условия сходимости:

условие выполняется

α = 0,78

Заполняем итерационную таблицу:

№ итерации	х(к)	х(к + 1)
0	– 0,801 – 5,735 – 1,241	2,963 – 5,8158 0,679	1 3,35 0,29 13,35 – 6,8 1
1	2,963 – 5,8158 0,679	2,9504 – 4,3956 1,46866	0 ,05 5,04 5,04 2,7 998
2	2,9504 – 4,3956 1,46866	2,0018 – 4,6121 0,9506	3 ,37 0,77 3,37 1,84

На второй итерации с погрешностью 3,37 получили результат: х₁= 2,0018, х₂ = – 4,6121, х₃ = 0,9506. Продолжая итерационный процесс, можно получить результат с меньшей погрешностью.

Задание 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

решите систему линейных уравнений методом Зейделя.

Решение:

Все вычисления до итерационного процесса те же что и в методе простой итерации.(см. задание 1).

Расчеты в нулевой итерации производятся следующим образом:

№ итерации	х(к)	х(к + 1)
0	– 0,801 – 5,735 – 1,241	2,963 – 3,8848 0, 7678	13,33
1	2,963 – 3,8848 0, 7678	1,694 – 5,0702 1,198	4,5
2	1,694 – 5,0702 1,198	2,449 – 4,797 0,995	2,7

На второй итерации с погрешностью 2,7 получили результат:

х₁= 2,449, х₂ = – 4,797, х₃ = 0,995.

Контрольные вопросы

1. Как привести исходную систему линейных уравнений к системе с преобладающими диагональными коэффициентами?

2. В чем отличие метода Зейделя от метода простой итерации?

3. В чем заключается решение системы линейных уравнений методом Ньютона?

4. Какие методы положены в основу решения системы линейных уравнений в математических программных средствах (табличный процессор Excel, MATCAD, MATLAB)?

§5. Методы приближения и аппроксимации функций

5.1 Понятия интерполяции и экстраполяции

Замена одной функции на другую более простую и удобную называется аппроксимацией.

Интерполирование – аппроксимация функции с помощью алгебраического многочлена _n(x) степени n, значения которого в заданных узлах x_i (i=0,1,…,n) равны значениям функции в этих же узлах _n(x_i)=y_i=f(x_i), при этом полагается, что среди значений x_i нет одинаковых, т.е. x_ix_k при ik. Многочлен _n(x) называется интерполяционным. Геометрическая интерпретация интерполирования представлена на рис. 5.1.

Чаще всего задача интерполяции функции одной переменной состоит в замене дискретной зависимости y(x_i), т.е. N пар чисел (x_i,y_i), или, по-другому, узлов, некоторой непрерывной функцией  (x). При этом основным условием является то, что функция y(x) должна проходить через точки (x_i,y_i), т. е. y(x_i)=y_i ,i=1...N, а также возможность вычислить значение  (x) в любой точке, находящейся между узлов.

Когда искомое значение  (x) вычисляется в точке x, которая находится между каких-либо из узлов x_i, говорят об интерполяции, а когда  точка x лежит вне границ интервала, включающего все x_i - об экстраполяции функции  (x).