3.4 Метод простой итерации

Пусть дано уравнение f (x) =0. Необходимо определить корень ξ этого уравнения на отрезке [a,b]. Причем функция f (x) имеет на концах отрезка значения разных знаков f (a)· f (b) <0. Заменим уравнение f (x) =0 равносильным уравнением x =ϕ (x). Зададим некоторое начальное приближение корня x₀ и, подставляя его в правую часть уравнения, получим первое приближение корня x₁ . Затем, подставляя найденное значение x₁ в правую часть уравнения, получим следующее приближение корня x₂ , и так далее.

Если последовательность x₁ , x ₂,… , x _n , при n → ∞ сходится, то она сходится к точному решению уравнения f (ξ ) =0.

Итерационная формула метода простой итерации имеет вид: (3.1), где

Оценка погрешности производится по формуле:

(3.2),

где , ε – заданная погрешность.

Задания для самостоятельного решения

1. Локализуйте все корни уравнения, графически и с помощью математических программных средств: .

2. Найдите все корни уравнения методом половинного деления с точностью 0,001: .

3. Найдите все корни уравнения методом половинного деления с точностью 0,001: .

4. Найдите все корни уравнения методом простой итерации с точностью 0,001: .

5. Найдите наименьший положительный корень уравнения методом простой итерации с точностью 0,001: .

Практическая работа №2

Тема: «Решение уравнений методами половинного деления и простой итерации»

Цели: освоение решения алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом простой итерации; сравнение методов.

Задание 1. Локализуйте корни заданного уравнения, на заданном отрезке. Укажите количество корней и отрезки, в каждом из которых заключен корень уравнения.

Задание 2. Найдите один из кореней заданного уравнения, с погрешностью ε = 0,001 методом половинного деления;

Задание 3. Найдите один из кореней заданного уравнения, с погрешностью ε = 0,001 методом простой итерации;

Задание 4. Сравните методы половинного деления и простой итерации по вычислительным затратам и по точности вычислений, путем сопоставления количества верных цифр в полученных результатах (или сравнения погрешностей).

Исходные данные:

Вариант 1 0,008x³ – cos x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 2 [-10; 1] с шагом 0,1

Вариант 3 х – 10 sin x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 4 8 cos x – x – 6 = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 5 ln(x + 6,1) – 2 sin(x – 1,4) = 0 [-6; 10] с шагом 0,1

Вариант 6 2 ^{– х} – sin x =0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 7 lg (x+5) – cos x = 0 [-4,9; 5] с шагом 0,1

Вариант 8 [-1,7; 10] с шагом 0,1

Вариант 9 2 ^x – 2cos x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 10 x∙sin x – 1 = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 11 10 cos x - 0,1x² = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 12 3 sin 8x – 0,7x + 0,9 = 0 [-1; 1] с шагом 0,1

Вариант 13 1,2 – ln x – 4 cos 2x = 0 [0,1; 10] с шагом 0,1

Вариант 14 sin x – 0,2x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 15 4 cos x + 0,3x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 16 2 lg (x+7) – 5sin x = 0 [-6,9; 10] с шагом 0,1

Вариант 17 2x² – 5 – 2^x = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 18 1,2x⁴ + 2x³ – 13x² –14,2x – 24,1 = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 19 2^–x –10 + 0,5x² = 0 [-10; 10] с шагом 0,1

Вариант 20 4x⁴ – 6,2 – cos(0,6x) = 0 [-10; 10] с шагом 0,1