Примеры выполнения заданий работы

Задание 1. Найдите экстремум заданной функции f(x) = cos х – 0,1х на отрезке [–5; –0,5], с погрешностью ε = 0,1 методом половинного деления.

Решение:

f '(x) = – sin x –0,1

х₀ = (–5 –0,5)/2 = –2,75; ∆x₀= 2,25

f '(–5) = –1,06; f '(–2,75) = –0,48; f '(–0,5) = 0,38

[–2,75; –0,5]

х₁ = (–2,75 –0,5)/2 = –1,625; ∆x₀= 1,125

f '(–2,75) = –0,48; f '(–1,625) = 0,898; f '(–0,5) = 0,38

[–2,75; –1,625]

х₂ = (–2,75 –1,625)/2 = –2,1875; ∆x₀= 0,56

f '(–2,75) = –0,48; f '(–2,1875) = 0,61; f '(–1,625) = 0,898;

[–2,75; –2,1875]

х₃ =–2,4688; ∆x₀= 0,3

f '(–2,75) = –0,48; f '(–2,4688) = 0,52; f '(–2,1875) = 0,61;

[–2,75; –2,4688]

х₄ = –2,6094; ∆x₀= 0,14

f '(–2,75) = –0,48; f '(–2,6094) = 0,4; f '(–2,4688) = 0,52;

[–2,75; –2,6094]

х₅ = –2,6797; ∆x₀= 0,07 ≈ 0,1

х = –2,7±0,1 – точка минимума

f(–2,7) = cos (–2,7) – 0,1(–2,7) ≈ 1,3 – минимум функции.

Задание 2. Найти точку минимума функции с точностью 0,1, используя оптимально-пассивный поиск.

Решение.

Находим отрезок локализации. При имеем , при имеем , при имеем . Значит, на отрезке имеется точка локального минимума. Полагаем , .

На отрезке задаем последовательность точек таких, что , , , . В этих точках вычисляем значение функции :

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

За точку минимума принимается та точка, для которой выполняется соотношение:

. Следовательно, на отрезке имеется точка минимума, за которую мы можем взять либо точку , либо точку с предельной относительной погрешностью .

Точка минимума приблизительно равна . Значение функции в этой точке .

Контрольные вопросы

1. В чем заключается идея нахождения экстремумов функции методом половинного деления?

2. Каков алгоритм нахождения экстремумов функции методом половинного деления?

3. В чем заключается нахождение экстремума функции методом оптимально-пассивного поиска?

4. В чем заключаются многомерные методы оптимизации?

5. Как выполнить оптимизацию функций с помощью программных средств?

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003г.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы: Линейная алгебра и нелинейные уравнения – М.: Высшая школа, 2000г.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учебное пособие – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004г.

4. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннекер Е.К. Численные методы – М.: Изд. центр «Академия», 2004г.

5. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. (В двух частях) – М.:МГУЛ,2001.

6. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004г.

Ходаковская Т.Ю.

«Численные методы»: учебное пособие

Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 7,2

117