Введение

Создание электронных вычислительных машин, ЭВМ, в середине ХХ века явилось выдающимся техническим достижением – революцией в истории человечества. Если предыдущие технические революции расширяли физические возможности трудовой деятельности человека, то создание ЭВМ расширило его интеллектуальные возможности. Стало возможным более эффективное познание законов реального мира, значительное увеличение производительности труда, развитие производства, совершенствование управления и т. д.

Поскольку для реализации этих потенциальных возможностей использования ЭВМ необходимо наличие квалифицированных специалистов, поэтому студентам специальности 230105 «Программное обеспечение ВТ и АС» читается соответствующий курс дисциплины «Численные методы».

Цели преподавания дисциплины

Преподавание численных методов предусматривает:

– развитие логического и алгоритмического мышления;

– овладение основными вычислительными методами математики и их реализации на ЭВМ;

– выработку умения самостоятельно расширять математические знания, проводить математический анализ и решать на ЭВМ прикладные задачи.

Задачи изучения дисциплины

Научить обоснованно выбирать конкретные численные методы для решения конкретных прикладных задач и реализовывать их на ЭВМ.

В результате изучения дисциплины студент должен:

– знать основные понятия и численные методы;

– уметь проводить исследования с помощью ЭВМ математических задач;

– владеть навыками реализации методов вычислительной математики при решении практических задач;

– быть компетентным в правильном выборе численных методов при решении практических задач.

Данное издание содержит изложение основных понятий и методов теории погрешностей, решения нелинейных уравнений, систем линейных уравнений, приближения и аппроксимации функций, вычисления определенных интегралов, методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, методов оптимизации.

В пособии рассматривается реализация решения вычислительных задач на ЭВМ. При этом особое внимание уделяется такому средству как табличный процессор Excel, поскольку оно является наиболее доступным из всех математических программных средств.

Настоящее учебное пособие предназначено как для аудиторных занятий, поскольку содержит практические работы по курсу дисциплины, так и для самостоятельной подготовки студентов, так как содержит краткий теоретический материал, задачи для самостоятельного решения и контрольные вопросы для проверки своих теоретических знаний.

Из истории вычислительной математики

Греческие астрономы использовали математические методы для изучения законов движения небесных светил. Они много сделали для развития вычислительной математики.

Вершиной достижений в математике считают исследования знаменитого александрийского математика и астронома Клавдия Птолемея. Он жил в первой половине II века н. э. и оставил после себя сочинения в тринадцати томах под названием «Великое собрание, или Великое построение».

Это была своего рода энциклопедия астрономических знаний того времени. До нас она дошла под греко-арабским названием «Альмагест».

В Альмагесте приведены результаты огромной вычислительной работы, проделанной Птолемеем. Они представлены в виде таблиц синусов и предназначались для облегчения труда астронома.

По таблицам можно было определить синусы дуг через каждую четверть градуса, а по теореме Пифагора - вычислить любой элемент (сторону или угол) плоского прямоугольного треугольника, два других элемента которого известны. Таблица Птолемея - первая из дошедших до нас тригонометрических таблиц.

Длительный период римского господства в Европе не отмечен какими-либо выдающимися достижениями в математике. Только александрийский ученый Диофант, живший в III веке н. э., ввел новые своеобразные алгебраические уравнения.

Огромную роль в технике вычислений сыграло изобретение логарифмов. Оно повлияло на всю методику решения математических задач. Создатели первых таблиц логарифмов - шотландский математик Джон Непер и швейцарский ученый Йоост Бюрги.

Французский ученый Пьер Симон Лаплас писал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». А астрономам в те времена приходилось выполнять наиболее сложные и утомительные вычисления.

Слово «логарифм» греческое. Оно составлено из двух слов: «логос» «отношение», «аритмос» - «число». Таким образом, «логарифм» означает «число, измеряющее отношение».

О причинах, побудивших к созданию логарифмов, Непер говорил: «Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

Выдающееся значение работ Непера в том, что он раскрыл сущность логарифма как новой, до него неизвестной математической зависимости. Ее открытие имело для вычислительной математики столь же большое значение, как открытие тригонометрических функций.

Со времени выдающегося изобретения Непера прошло более 350 лет. Свыше 500 различных образцов таблиц логарифмов было создано с тех пор. Они прочно вошли в арсенал вычислительных средств и по сей день занимают почетное место как пособие, облегчающее человеку вычисления.

Люди всегда жили и теперь живут в мире непрестанного движения. Все, что нас окружает, движется: меняется с течением времени взаимное расположение планет Солнечной системы, температура и давление воздуха, силы, действующие в машине, токи, протекающие в электрической цепи, состояние живой клетки.

В других процессах движение протекает с огромными скоростями и длится сотые, тысячные, иногда миллионные доли секунды. Стремительно падает давление воздуха в районе, к которому приближается циклон. С колоссальным ускорением движутся элементарные частицы в синхрофазотроне: они за секунды пробегают космические расстояния.

И при исследовании подобных процессов - их называют динамическими - ученых прежде всего интересует, как они изменяются во времени.

Для расчета динамических процессов нужны математические методы, которые, подобно сверхскоростному киноаппарату, позволяют улавливать изменения, происшедшие за малые промежутки времени.

Таким «киноаппаратом» вычислении явились методы дифференциального и интегрального исчисления науки об изменяющихся величинах. Ее создали гениальные математики Лейбниц, Ньютон, Эйлер и их ученики и последователи. Но одно дело - исследовать явления, столь же закономерные, как смена дня и ночи, чередование времен года, и совершенно другое дело изучать процессы, подверженные воздействию случайных обстоятельств.

Монета, брошенная вверх, с неизбежностью падает на землю. Можно даже вычислить, через сколько секунд это произойдет.

Но никакие расчеты не могут предугадать, какой стороной она упадет «орлом» или «решкою». Она может упасть и так и сяк, и это зависит от множества случайных обстоятельств.

Игры, основой которых является случайный исход, интересовали таких выдающихся математиков, как Блез Паскаль и Пьер Ферма. Зародилась новая наука - теория вероятностей. Было доказано, что вероятность - величина, доступная измерению.